Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) O conjunto Q não possui nem supremo nem ínfimo.
b) O ínfimo do conjunto 3-1n+4 rvert, n in N é 3.
c) O supremo do conjunto 4-1n+1 rvert, n in N é 4 .

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre supremo e ínfimo é verdadeira ou falsa. Vamos usar os conceitos de conjunto limitado, supremo (menor majorante) e ínfimo (maior minorante) no contexto de R.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “O conjunto Q não possui nem supremo nem ínfimo.”
Um conjunto em R só tem supremo se for limitado superiormente e só tem ínfimo se for limitado inferiormente. Mas Q é denso e vai de -infty a +infty, ou seja, não é limitado nem acima nem abaixo. Logo não existe um menor majorante real nem um maior minorante real. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “O ínfimo do conjunto 3-1n+4mid ninN é 3.”
Cada termo é 3-tfrac1n+4<3 e, à medida que n cresce, 3-tfrac1n+4 cresce em direção a 3 porém sempre fica abaixo de 3. O menor termo ocorre em n=1 (ou n=0 se N começar em zero), mas de qualquer forma esse menor termo é estritamente menor que 3. Assim o ínfimo é esse menor termo (por exemplo 3-tfrac15=2,8), e não 3. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “O supremo do conjunto 4-1n+1mid ninN é 4.”
Cada elemento satisfaz 4-tfrac1n+1<4 e, conforme ntoinfty, o termo aproxima-se de 4 por cima. Não existe nenhum elemento igual a 4, mas 4 é o menor majorante de todos eles. Portanto o supremo é de fato 4, e a afirmação (c) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira

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