Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) conjunto não possui nem supremo nem ínfimo.
b) O ínfimo do conjunto é 3.
c) O supremo do conjunto 4-1n+1 rvert, n in N é 4 .
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre supremo e ínfimo é verdadeira ou falsa. Vamos usar os conceitos de conjunto limitado, supremo (menor majorante) e ínfimo (maior minorante) no contexto de R.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “O conjunto Q não possui nem supremo nem ínfimo.”
Um conjunto em R só tem supremo se for limitado superiormente e só tem ínfimo se for limitado inferiormente. Mas Q é denso e vai de -infty a +infty, ou seja, não é limitado nem acima nem abaixo. Logo não existe um menor majorante real nem um maior minorante real. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “O ínfimo do conjunto 3-1n+4mid ninN é 3.”
Cada termo é 3-tfrac1n+4<3 e, à medida que n cresce, 3-tfrac1n+4 cresce em direção a 3 porém sempre fica abaixo de 3. O menor termo ocorre em n=1 (ou n=0 se N começar em zero), mas de qualquer forma esse menor termo é estritamente menor que 3. Assim o ínfimo é esse menor termo (por exemplo 3-tfrac15=2,8), e não 3. Logo (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “O supremo do conjunto 4-1n+1mid ninN é 4.”
Cada elemento satisfaz 4-tfrac1n+1<4 e, conforme ntoinfty, o termo aproxima-se de 4 por cima. Não existe nenhum elemento igual a 4, mas 4 é o menor majorante de todos eles. Portanto o supremo é de fato 4, e a afirmação (c) é verdadeira.