Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
16- \frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}
O que se pede:
  • Mostrar que a expressão do lado direito é homogênea (ou seja, depende apenas de \dfrac{y}{x}).
  • Resolver a equação, obtendo a solução geral (e apontar soluções especiais, se houver).

Passo 2

Entender o que significa ser homogêneo (explicação didática curta).
Uma função F(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t,
F(t x, t y)=t^{k}F(x,y).
No caso de uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=F(x,y), dizemos que é homogênea quando F é homogênea de grau 0, isto é, quando
F(t x,t y)=F(x,y),
o que implica que F pode ser escrita apenas em função de v=\dfrac{y}{x}. A vantagem é que então podemos usar a substituição y=vx para reduzir a equação a uma de variáveis separáveis.

Passo 3

Mostrar que o lado direito é função de \dfrac{y}{x}.
Começamos com
F(x,y)=-\frac{4x+3y}{2x+y}.
Fatorando x em numerador e denominador:
F(x,y)=-\frac{x\bigl(4+3\frac{y}{x}\bigr)}{x\bigl(2+\frac{y}{x}\bigr)}=-\frac{4+3v}{2+v}, \qquad v=\frac{y}{x}.
Portanto F depende apenas de v, logo é homogênea de grau 0. Mostrado.

Passo 4

Fazer a substituição y=vx e obter a EDO para v(x).
Se y=vx, então (regra do produto)
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{4+3v}{2+v}.
Isolando \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{4+3v}{2+v}-v.
Colocando na mesma fração:
-\frac{4+3v}{2+v}-v=-\frac{4+3v+v(2+v)}{2+v}=-\frac{4+3v+2v+v^{2}}{2+v}=-\frac{v^{2}+5v+4}{2+v}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^{2}+5v+4}{2+v}.

Passo 5

Fatorar o numerador e separar as variáveis (explicação didática).
Observa-se que
v^{2}+5v+4=(v+1)(v+4).
Assim
\frac{dv}{dx}=-\frac{(v+1)(v+4)}{x(2+v)}.
Passamos a separar as variáveis:
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo convém decompor em frações parciais. Procuramos constantes A,B tais que
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)}=\frac{A}{v+1}+\frac{B}{v+4}.
Multiplicando por (v+1)(v+4) obtemos
2+v=A(v+4)+B(v+1)=(A+B)v+(4A+B).
Igualando coeficientes:
A+B=1,\qquad 4A+B=2.
Subtraindo: 3A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}. Então B=1-A=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Integrar e simplificar (mostrando passos).
Com a decomposição:
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v+1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{v+4}.
Integramos ambos os lados:
\int\left(\frac{1}{3}\frac{1}{v+1}+\frac{2}{3}\frac{1}{v+4}\right)dv=\int -\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
\frac{1}{3}\ln|v+1|+\frac{2}{3}\ln|v+4|=-\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 3:
\ln|v+1|+2\ln|v+4|=-3\ln|x|+C_{1}.
Agrupando os logaritmos:
\ln\!\bigl(|v+1|\;|v+4|^{2}\bigr)=\ln\!\bigl(C_{2}x^{-3}\bigr),
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0 (podemos absorver sinais numa constante arbitrária). Exponenciando:
|v+1|\;|v+4|^{2}=C_{2}x^{-3}.
Eliminando as barras e absorvendo sinal em uma constante arbitrária C\in\mathbb{R}, escrevemos
(v+1)(v+4)^{2}=C x^{-3}.

Passo 7

Voltar à variável original y e simplificar a forma final (explicação).
Lembrando v=\dfrac{y}{x}, temos
\biggl(\frac{y}{x}+1\biggr)\biggl(\frac{y}{x}+4\biggr)^{2}=C x^{-3}.
Multiplicando ambos os lados por x^{3}:
(y+x)(y+4x)^{2}=C.
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.

Passo 8

Soluções singulares/retas (casos constantes de v) e observações.
  • Se \dfrac{dv}{dx}=0 então (v+1)(v+4)=0, logo v=-1 ou v=-4. Isso corresponde às soluções lineares
y=-x\qquad\text{e}\qquad y=-4x,
que verificam a EDO (podem também ser obtidas da solução geral com C=0).
  • A linha v=-2 (isto é, y=-2x) anula o denominador original 2x+y, tornando a expressão da EDO indefinida; portanto y=-2x não é solução (não pertence ao domínio da EDO).

Resposta

(y+x)(y+4x)^{2}=C
y=-x
y=-4x

Exercícios relacionados