Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
16-
.
16-
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede:
- Mostrar que a expressão do lado direito é homogênea (ou seja, depende apenas de
). - Resolver a equação, obtendo a solução geral (e apontar soluções especiais, se houver).
Passo 2
Entender o que significa ser homogêneo (explicação didática curta).
Uma função é homogênea de grau
se, para todo
,
Uma função
No caso de uma equação da forma
, dizemos que é homogênea quando
é homogênea de grau
, isto é, quando
o que implica que
pode ser escrita apenas em função de
. A vantagem é que então podemos usar a substituição
para reduzir a equação a uma de variáveis separáveis.
Passo 3
Mostrar que o lado direito é função de
.
Começamos com
Começamos com
Fatorando
em numerador e denominador:
Portanto
depende apenas de
, logo é homogênea de grau
. Mostrado.
Passo 4
Fazer a substituição
e obter a EDO para
.
Se , então (regra do produto)
Se
Substituindo na equação original:
Isolando
:
Colocando na mesma fração:
Logo
Passo 5
Fatorar o numerador e separar as variáveis (explicação didática).
Observa-se que
Observa-se que
Assim
Passamos a separar as variáveis:
Agora integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo convém decompor em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes:
Subtraindo:
. Então
.
Passo 6
Integrar e simplificar (mostrando passos).
Com a decomposição:
Com a decomposição:
Integramos ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
:
Agrupando os logaritmos:
onde
(podemos absorver sinais numa constante arbitrária). Exponenciando:
Eliminando as barras e absorvendo sinal em uma constante arbitrária
, escrevemos
Passo 7
Voltar à variável original
e simplificar a forma final (explicação).
Lembrando , temos
Lembrando
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.
Passo 8
Soluções singulares/retas (casos constantes de
) e observações.
- Se
então , logo ou . Isso corresponde às soluções lineares
que verificam a EDO (podem também ser obtidas da solução geral com
).
- A linha
(isto é, ) anula o denominador original , tornando a expressão da EDO indefinida; portanto não é solução (não pertence ao domínio da EDO).