Se H e K são subgrupos de um grupo G, K precisa ser um subgrupo normal de G para que HK seja um subgrupo de G?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas subgrupos H e K de um grupo G, é preciso que K seja subgrupo normal de G para que o conjunto HK=\{hk \mid h\in H,\\ k\in K\} seja um subgrupo de G.
Informações dadas:
  • H e K são subgrupos de G.
  • Quer-se saber se a normalidade de K em G é necessária (ou seja, obrigatória) para que HK seja subgrupo de G.
O que será respondido e demonstrado:
  • Vou mostrar quando HK é subgrupo e quais condições são suficientes ou necessárias.
  • Vou dar exemplos concretos (um mostrando que a normalidade é suficiente e outro mostrando que não é necessária).
  • Vou provar a condição necessária e suficiente clássica envolvendo HK=KH.

Passo 2

Explicação e prova de que a normalidade de K em G é suficiente para HK ser subgrupo.
Lembrete do conceito usado: K é normal em G se, para todo g\in G, tem-se gKg^{-1}=K. Em particular, se K é normal então gk g^{-1}\in K para todos g\in G e k\in K.
Prova:
  • Queremos verificar que HK é subgrupo quando K é normal.
  • Primeiro, e_G\in H e e_G\in K, então e_G = e_H e_K \in HK.
  • Fechamento a produto: tome a,b\in HK. Escreva a=h_1k_1 e b=h_2k_2 com h_1,h_2\in H e k_1,k_2\in K. Então ab = h_1 k_1 h_2 k_2.Como K é normal em G, em particular k_1 h_2 = h_2 (h_2^{-1}k_1 h_2) e h_2^{-1}k_1 h_2\in K. Logo k_1 h_2\in H K e podemos escrever k_1 h_2 = h_3 k_3 com h_3\in H,\\ k_3\in K. Portanto ab = h_1 (h_3 k_3) k_2 = (h_1 h_3)(k_3 k_2)\in H K.Assim ab\in HK.
  • Fechamento a inversos: para a=h k\in HK tem-se a^{-1} = k^{-1} h^{-1}.Usando normalidade novamente, k^{-1} h^{-1} = h^{-1} (h k^{-1} h^{-1}) com h k^{-1} h^{-1}\in K, logo a^{-1}\in HK.
  • Conclui-se que HK é subgrupo de G quando K é normal.
Comentário intuitivo: se K é normal, as “cosetas” de K encaixam bem com H e não criam problemas de fechamento.

Passo 3

Exemplo mostrando que a normalidade de K em G não é necessária (ou seja, HK pode ser subgrupo mesmo quando K não é normal).
Considere G=S_3 (grupo simétrico com 6 elementos). Tome
H=\langle (1\,2\,3)\rangle=\{e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}, \qquad K=\langle (1\,2)\rangle=\{e,(1\,2)\}.
  • K não é normal em G, pois conjugando (1\,2) por (1\,2\,3) obtém-se (2\,3)\notin K.
  • Calcule o produto HK. Como |H|=3, |K|=2 e H\cap K=\{e\}, a fórmula do produto dá |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=3\cdot 2 =6.Então HK tem 6 elementos, i.e. HK=G. Como G é subgrupo de si mesmo, HK é subgrupo.
  • Conclusão: aqui HK é subgrupo (é todo G) apesar de K não ser normal.
Comentário: esse exemplo mostra que a normalidade de K é suficiente, mas não necessária.

Passo 4

Afirmação central (teorema) e prova: condição necessária e suficiente para que HK seja subgrupo é que HK=KH.
Teorema: Para subgrupos H,K\le G, o conjunto HK é subgrupo de G se e somente se HK=KH.
Prova ( \Rightarrow) — se HK é subgrupo então HK=KH.
  • Como H\subseteq HK e K\subseteq HK, ambos h e k pertencem a HK para todo h\in H,\\ k\in K.
  • Se HK é subgrupo, então é fechado por conjugação por seus elementos no sentido de produto: para k\in K e h\in H temos k h k^{-1}\in HK (pois k,h\in HK e HK é subgrupo).
  • Escreva k h k^{-1} = h_1 k_1 com h_1\in H,\\ k_1\in K. Multiplicando à direita por k obtém-se k h = h_1 k_1 k \in HK.Portanto k h \in HK para todo k\in K,\\ h\in H, o que mostra KH\subseteq HK.
  • Invertendo o papel de H e K (ou aplicando o mesmo raciocínio), obtem-se HK\subseteq KH. Assim HK=KH.
Prova ( \Leftarrow) — se HK=KH então HK é subgrupo.
  • Fechamento a produto: para a=h_1k_1, b=h_2k_2 em HK, ab = h_1 (k_1 h_2) k_2.Como k_1 h_2\in KH e KH=HK, existe h_3\in H,k_3\in K com k_1 h_2 = h_3 k_3. Logo ab = h_1 h_3 (k_3 k_2)\in HK.
  • Fechamento a inversos: para a=h k\in HK, a^{-1} = k^{-1} h^{-1}.Como k^{-1} h^{-1}\in KH e KH=HK, tem-se a^{-1}\in HK.
  • Portanto HK é subgrupo.
Resumo: HK é subgrupo \iff HK=KH. Em outras palavras, os subconjuntos H e K precisam “gerar” o mesmo conjunto independentemente da ordem de multiplicação.

Passo 5

Outras observações úteis e formas práticas de usar o resultado na prova:
  • Consequência prática: se K é normal em G, então gK=Kg para todo g\in G, em particular HK=KH, logo HK é subgrupo. Assim normalidade de K é uma condição simples e suficiente.
  • Condição mais fraca que também garante que HK é subgrupo: se K é normal apenas em H (i.e. hKh^{-1}=K para todo h\in H), então o mesmo argumento do Passo 2 mostra que HK é subgrupo. Isso porque nas contas envolvendo fechamento só é preciso normalidade em elementos de H.
  • Em provas: ao ver HK, o teste imediato é verificar se HK=KH. Se sim, já é subgrupo; se não, não é subgrupo (ex.: exemplo clássico em S_3 com dois subgrupos de ordem 2 ilustra a falha de fechamento).

Passo 6

Pequena recapitulação amigável:
  • Não precisa que K seja normal em todo G para que HK seja subgrupo.
  • A condição necessária e suficiente é HK=KH.
  • A normalidade de K em G é uma hipótese simples que garante HK=KH (portanto suficiente), mas não é necessária — há exemplos onde K não é normal e HK é subgrupo (por exemplo, H=A_3 e K=\langle(1\,2)\rangle em S_3, onde HK=G).

Resposta

Não, K não precisa ser normal em G. A condição necessária e suficiente para que HK seja subgrupo é HK=KH. Em particular, se K for normal em G então HK é subgrupo, mas a normalidade não é necessária.

Exercícios relacionados