Se H e K são subgrupos de um grupo G, K precisa ser um subgrupo normal de G para que HK seja um subgrupo de G?
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas subgrupos
e
de um grupo
, é preciso que
seja subgrupo normal de
para que o conjunto
seja um subgrupo de
.
Informações dadas:
-
e são subgrupos de . - Quer-se saber se a normalidade de
em é necessária (ou seja, obrigatória) para que seja subgrupo de .
O que será respondido e demonstrado:
- Vou mostrar quando
é subgrupo e quais condições são suficientes ou necessárias. - Vou dar exemplos concretos (um mostrando que a normalidade é suficiente e outro mostrando que não é necessária).
- Vou provar a condição necessária e suficiente clássica envolvendo
.
Passo 2
Explicação e prova de que a normalidade de
em
é suficiente para
ser subgrupo.
Lembrete do conceito usado:
é normal em
se, para todo
, tem-se
. Em particular, se
é normal então
para todos
e
.
Prova:
- Queremos verificar que
é subgrupo quando é normal. - Primeiro,
e , então . - Fechamento a produto: tome
. Escreva e com e . Então Como é normal em , em particular e . Logo e podemos escrever com . Portanto Assim . - Fechamento a inversos: para
tem-se Usando normalidade novamente, com , logo . - Conclui-se que
é subgrupo de quando é normal.
Comentário intuitivo: se
é normal, as “cosetas” de
encaixam bem com
e não criam problemas de fechamento.
Passo 3
Exemplo mostrando que a normalidade de
em
não é necessária (ou seja,
pode ser subgrupo mesmo quando
não é normal).
Considere
(grupo simétrico com 6 elementos). Tome
-
não é normal em , pois conjugando por obtém-se . - Calcule o produto
. Como , e , a fórmula do produto dá Então tem 6 elementos, i.e. . Como é subgrupo de si mesmo, é subgrupo. - Conclusão: aqui
é subgrupo (é todo ) apesar de não ser normal.
Comentário: esse exemplo mostra que a normalidade de
é suficiente, mas não necessária.
Passo 4
Afirmação central (teorema) e prova: condição necessária e suficiente para que
seja subgrupo é que
.
Teorema: Para subgrupos
, o conjunto
é subgrupo de
se e somente se
.
Prova (
) — se
é subgrupo então
.
- Como
e , ambos e pertencem a para todo . - Se
é subgrupo, então é fechado por conjugação por seus elementos no sentido de produto: para e temos (pois e é subgrupo). - Escreva
com . Multiplicando à direita por obtém-se Portanto para todo , o que mostra . - Invertendo o papel de
e (ou aplicando o mesmo raciocínio), obtem-se . Assim .
Prova (
) — se
então
é subgrupo.
- Fechamento a produto: para
, em , Como e , existe com . Logo - Fechamento a inversos: para
, Como e , tem-se . - Portanto
é subgrupo.
Resumo:
é subgrupo
. Em outras palavras, os subconjuntos
e
precisam “gerar” o mesmo conjunto independentemente da ordem de multiplicação.
Passo 5
Outras observações úteis e formas práticas de usar o resultado na prova:
- Consequência prática: se
é normal em , então para todo , em particular , logo é subgrupo. Assim normalidade de é uma condição simples e suficiente. - Condição mais fraca que também garante que
é subgrupo: se é normal apenas em (i.e. para todo ), então o mesmo argumento do Passo 2 mostra que é subgrupo. Isso porque nas contas envolvendo fechamento só é preciso normalidade em elementos de . - Em provas: ao ver
, o teste imediato é verificar se . Se sim, já é subgrupo; se não, não é subgrupo (ex.: exemplo clássico em com dois subgrupos de ordem ilustra a falha de fechamento).
Passo 6
Pequena recapitulação amigável:
- Não precisa que
seja normal em todo para que seja subgrupo. - A condição necessária e suficiente é
. - A normalidade de
em é uma hipótese simples que garante (portanto suficiente), mas não é necessária — há exemplos onde não é normal e é subgrupo (por exemplo, e em , onde ).
Resposta
Não,
não precisa ser normal em
. A condição necessária e suficiente para que
seja subgrupo é
. Em particular, se
for normal em
então
é subgrupo, mas a normalidade não é necessária.