Informações e observações que usarei (todas retiradas do enunciado):
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1.
O termo \delta(t-1) é a distribuição impulso unitário centrado em t=1.
Interpreto u_{3}(t) como a função degrau unitário deslocada para a direita de 3 unidades, isto é u_{3}(t)=u(t-3).
Vou usar transformada de Laplace para resolver a EDO linear com forças não-homogêneas com \delta e degrau deslocado. A resolução começará aplicando propriedades da Laplace às derivadas e aos termos forçantes.]
Passo 2
Breve resumo das fórmulas de Laplace que vou usar (explicando cada símbolo):
A inversa de Y_0(s) e a parte sem o fator exponencial em Y_1(s) são transformadas usuais com decaimento exponencial multiplicando senos/cossenos.
Pelo teorema do deslocamento no tempo, \mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)f(t-a), onde f=\mathcal{L}^{-1}\{F\}. Assim Y_1 e Y_2 serão obtidos como funções deslocadas em t.
Passo 5
Inverso de Y_0(s) e Y_1(s):
Primeiro encontro f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+1)^{2}+1}\right\}. Recordando:
y(t)=\underbrace{e^{-t}\sin t}_{\text{termo homogêneo com condições iniciais}} \;+\;\underbrace{u(t-1)e^{-(t-1)}\sin(t-1)}_{\text{efeito do impulso em }t=1} \;+\;\underbrace{\frac{1}{2}u(t-3)\Bigl(1-e^{-(t-3)}(\cos(t-3)+\sin(t-3))\Bigr)}_{\text{efeito do degrau em }t=3}.êçõ
Verificação rápida (coisa simples para acalmar): para 0\le t<1 apenas o primeiro termo existe e y(0)=0,\;y'(0)=1 batem com as C.I.; comportamentos em saltos estão corretamente tratados pelo uso de u(\cdot) e da resposta ao impulso.