Encontrar para as funções da física:

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente
gradf=(fx,fy,fz)
da função de dipolo
f(x,y,z) =1raiz(x-1)^2+y^2+z^2 -1raiz(x+1)^2+y^2+z^2
Para isso vamos usar definição de derivada parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
f1(x,y,z)=l((x-1)^2+y^2+z^2r)^-1/2,
então aplicar regra da cadeia em u=(x-1)^2+y^2+z^2
partial f1partial x =-tfrac12,u^-3/2cdot 2(x-1) =-x-1l((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2,
partial f1partial y =-yl((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2, partial f1partial z =-zl((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2

Passo 3

Seja
f2(x,y,z)=l((x+1)^2+y^2+z^2r)^-1/2
Analogamente, a regra da cadeia em v=(x+1)^2+y^2+z^2
partial f2partial x =-x+1l((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2, partial f2partial y =-yl((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2, partial f2partial z =-zl((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2

Passo 4

Como
f=f1 - f2,
os parciais de f são
fx=partial f1partial x-partial f2partial x =-x-1l((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2 +x+1l((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2,
fy=-yl((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2 +yl((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2,
fz=-zl((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2 +zl((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2

Passo 5

Em forma vetorial, escrevemos
gradf(x,y,z) =l(fx,fy,fzr) =-r-r1|r-r1|^3 +r-r2|r-r2|^3,
onde r=(x,y,z), r1=(1,0,0), r2=(-1,0,0).

Resposta

gradf(x,y,z) =l( -x-1l((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2 +x+1l((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2,
-yl((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2 +yl((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2,
-zl((x-1)^2+y^2+z^2r)^3/2 +zl((x+1)^2+y^2+z^2r)^3/2 r)

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