[5] (3.0 ptos) Considere a função f(x, y)=lllx^2 y4 x^2+5 y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0).
(a) (2.0 ptos) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
(b) (1.0 pto) A função f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2y4x^2+5y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede em (a) as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, e em (b) verificar se f é diferenciável em (0,0). Para (a) vamos usar a regra do quociente para (x,y)neq(0,0) e a definição de derivada parcial em (0,0). Para (b) vamos usar o critério de diferenciabilidade no ponto, isto é, o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)raizx^2+y^2,
onde L(x,y) é o melhor aproximador linear, dado pelas derivadas parciais em (0,0).]

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x para (x,y)neq(0,0). Escreva
N(x,y)=x^2y, D(x,y)=4x^2+5y^2, f=ND
Então
partial Npartial x=2xy, partial Dpartial x=8x,
e pela regra do quociente
partial fpartial x =(partialx N),D-N,(partialx D)D^2 =2xy,(4x^2+5y^2)-x^2ycdot8x(4x^2+5y^2)^2 =10,x,y^3(4x^2+5y^2)^2

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y para (x,y)neq(0,0). Temos
partial Npartial y=x^2, partial Dpartial y=10y,
logo
partial fpartial y =x^2(4x^2+5y^2)-x^2ycdot10y(4x^2+5y^2)^2 =4x^4-5x^2y^2(4x^2+5y^2)^2

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais em (0,0) pela definição.
Para partial f/partial x(0,0)
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=0. De modo análogo
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =0

Passo 5

Síntese das derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)= dfrac10,x,y^3(4x^2+5y^2)^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= dfrac4x^4-5x^2y^2(4x^2+5y^2)^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0) ]

Passo 6

Verificação da diferenciabilidade em (0,0). O candidato a diferencial linear é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
Analisamos o quociente
f(x,y)-0raizx^2+y^2 =x^2y(4x^2+5y^2)raizx^2+y^2
Na reta y=x temos
f(x,x)raiz2x^2 =x^3(9x^2)cdot|x|raiz2 =19raiz2neq0
quando xto0. Como esse limite não é zero, a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

(a)
partial fpartial x(x,y)= dfrac10,x,y^3(4x^2+5y^2)^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= dfrac4x^4-5x^2y^2(4x^2+5y^2)^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
(b) Não, f não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados