[5] (3.0 ptos) Considere a função .
(a) (2.0 ptos) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
(b) (1.0 pto) A função f é diferenciável em (0,0) ?
e pede em (a) as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, e em (b) verificar se f é diferenciável em (0,0). Para (a) vamos usar a regra do quociente para (x,y)neq(0,0) e a definição de derivada parcial em (0,0). Para (b) vamos usar o critério de diferenciabilidade no ponto, isto é, o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)raizx^2+y^2,
onde L(x,y) é o melhor aproximador linear, dado pelas derivadas parciais em (0,0).]
Passo 2
Cálculo de partial fpartial x para (x,y)neq(0,0). Escreva
N(x,y)=x^2y, D(x,y)=4x^2+5y^2, f=ND
Então
partial Npartial x=2xy, partial Dpartial x=8x,
e pela regra do quociente
partial fpartial x =(partialx N),D-N,(partialx D)D^2 =2xy,(4x^2+5y^2)-x^2ycdot8x(4x^2+5y^2)^2 =10,x,y^3(4x^2+5y^2)^2
Passo 3
Cálculo de partial fpartial y para (x,y)neq(0,0). Temos
partial Npartial y=x^2, partial Dpartial y=10y,
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partial fpartial y =x^2(4x^2+5y^2)-x^2ycdot10y(4x^2+5y^2)^2 =4x^4-5x^2y^2(4x^2+5y^2)^2
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais em (0,0) pela definição.
Para partial f/partial x(0,0)