Para f(x, y)=3 x^2+2 y^2 achar a direção para acima, e a direção de nível em (1,2). Calcule Du f em estas direções .

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=3x^2+2y^2
e pede em P=(1,2)
  1. a direção de maior crescimento (direção “para cima”),
  2. a direção tangente à curva de nível,
    e depois os derivados direcionais nessas direções. Vamos usar o gradiente para isso.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(6x,,4y)
Em P=(1,2) isso fica
nabla f(1,2)=(6cdot1,,4cdot2)=(6,8)

Passo 3

A direção de maior crescimento em P é a direção do gradiente. Para obter um vetor unitário u1 tomamos
|nabla f(1,2)|=raiz6^2+8^2=raiz36+64=10,
logo
u1=110(6,8)=l(tfrac35,,tfrac45r)

Passo 4

A direção tangente à curva de nível em P é qualquer vetor ortogonal ao gradiente. Se v=(v1,v2) deve valer
nabla f(1,2)cdot v=6v1+8v2=0
Uma escolha simples é v=(-8,6). Seu comprimento é
| v|=raiz(-8)^2+6^2=raiz64+36=10,
de modo que o vetor unitário é
u2=110(-8,6)=l(-tfrac45,,tfrac35r)

Passo 5

O derivado direcional de f em P na direção unitária u é
D uf=nabla f(1,2)cdot u
Para u1=(tfrac35,tfrac45):
D u1f=(6,8)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =18+325=505=10
Para u2=(-tfrac45,tfrac35):
D u2f=(6,8)cdotl(-tfrac45,tfrac35r) =-24+245=0

Resposta

A direção de maior crescimento em (1,2) é
u1=l(tfrac35,,tfrac45r),
com D u1f=10.
A direção de nível (tangente à curva de nível) é
u2=l(-tfrac45,,tfrac35r),
com D u2f=0.

Exercícios relacionados