Para
achar a direção para acima, e a direção de nível em
. Calcule
em estas direções .
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede em
- a direção de maior crescimento (direção “para cima”),
- a direção tangente à curva de nível,
e depois os derivados direcionais nessas direções. Vamos usar o gradiente para isso.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de
:
Em
isso fica
Passo 3
A direção de maior crescimento em
é a direção do gradiente. Para obter um vetor unitário
tomamos
logo
Passo 4
A direção tangente à curva de nível em
é qualquer vetor ortogonal ao gradiente. Se
deve valer
Uma escolha simples é
. Seu comprimento é
de modo que o vetor unitário é
Passo 5
O derivado direcional de
em
na direção unitária
é
Para
:
Para
:
Resposta
A direção de maior crescimento em
é
com
.
A direção de nível (tangente à curva de nível) é
A direção de nível (tangente à curva de nível) é
com
.