Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de z=f(x, y) com y=y0 no ponto P(x0, y0, z0).
z=16-x^2-y^2 ; P(1,2,11)

Passo 1

O enunciado diz que temos a superfície z = f(x,y) = 16 – x² – y² e queremos a reta tangente à curva obtida ao cortar essa superfície pelo plano y = y₀ no ponto P(1,2,11). O conteúdo aqui é derivadas parciais e interpretação de curva de nível ou seção da superfície por um plano fixo.

Passo 2

Ao fixar y = y₀ = 2, a interseção é dada pela função de x só:
z(x) = 16 x^2 (2)^2 = 16 x^2 4 = 12 x^2
Essa é uma curva no plano y = 2, e sua inclinação (dz/dx) é a derivada dessa função.

Passo 3

Calculamos a derivada de z em relação a x:
dzdx = ddx(12 x^2) = -2x
No ponto x₀=1, isso vale
dzdx|x=1 = -2cdot1 = -2

Passo 4

Logo, a inclinação da reta tangente à curva de interseção no ponto P é -2.

Resposta

-2

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