Seja f(x, y, z)=x^2 ln (1+x^2+y^2)-3 z^8 x^5 y^3. Determine partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z, partial^2 fpartial y^2, partial^3 fpartial z partial x partial y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular derivadas parciais de ordem 1, 2 e 3 da função f(x,y,z)=x^2ln(1+x^2+y^2)-3z^8x^5y^3. O conteúdo envolve regra do produto, cadeia e, no caso de segunda derivada em y, derivada de quociente. Vamos precisar lembrar dessas regras para resolver.

Passo 2

Para achar partial fpartial x aplicamos a regra do produto em x^2ln(1+u) com u=x^2+y^2 e a regra da cadeia, e depois a derivada de -3z^8x^5y^3:
partial fpartial x =2xln(1+x^2+y^2)+x^2cdot11+x^2+y^2cdot2x-3z^8cdot5x^4y^3
Simplificando:
partial fpartial x =2xln(1+x^2+y^2)+2x^31+x^2+y^2-15z^8x^4y^3

Passo 3

Para partial fpartial y só há derivada em y na parte x^2ln(1+u) via cadeia e em -3z^8x^5y^3:
partial fpartial y =x^2cdot11+x^2+y^2cdot2y-3z^8x^5cdot3y^2
Logo:
partial fpartial y= 2x^2y1+x^2+y^2-9z^8x^5y^2

Passo 4

Para partial fpartial z só existe dependência em -3z^8x^5y^3, então:
partial fpartial z=-3cdot8z^7x^5y^3=-24z^7x^5y^3

Passo 5

Agora partial^2fpartial y^2: derivamos 2x^2y1+u em y usando derivada de produto/quociente e a parte em y^2:
ddyl(2x^2y1+ur)= 2x^21+u-2x^2ycdot2y(1+u)^2 =2x^21+x^2+y^2-4x^2y^2(1+x^2+y^2)^2
E derivando -9z^8x^5y^2) em y -18z^8x^5y). Assim:
partial^2fpartial y^2= 2x^21+x^2+y^2-4x^2y^2(1+x^2+y^2)^2-18z^8x^5y

Passo 6

Para partial^3fpartial zpartial xpartial y podemos continuar derivando a expressão de partial^2fpartial xpartial y em z. Primeiro achamos partial^2fpartial xpartial y a partir de partial fpartial y:
partial^2fpartial xpartial y =4xy1+x^2+y^2-4x^3y(1+x^2+y^2)^2-45z^8x^4y^2
Só o último termo depende de z, então derivando em z:
partial^3fpartial zpartial xpartial y =-45cdot8z^7x^4y^2=-360z^7x^4y^2

Resposta

partial fpartial x=2xln(1+x^2+y^2)+2x^31+x^2+y^2-15z^8x^4y^3
partial fpartial y=2x^2y1+x^2+y^2-9z^8x^5y^2
partial fpartial z=-24z^7x^5y^3
partial^2fpartial y^2=2x^21+x^2+y^2-4x^2y^2(1+x^2+y^2)^2-18z^8x^5y
partial^3fpartial zpartial xpartial y=-360z^7x^4y^2

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