Expresse a integral dupla, sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor. Após, inverta a ordem de integração para conferir os resultados.
, onde
é a região retangular de vértices
,
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região retangular $ R $. O enunciado nos dá a integral
e a região $ R $ é um retângulo com vértices em
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e aprender como mudar a ordem de integração para conferir o resultado. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Como é um retângulo com vértices em
,
,
e
, os limites para $ x $ vão de
a $ 2 $ e para $ y $ vão de
a $ 4 $. Isso significa que, na integral iterada, primeiro vamos integrar em relação a $ x $ de
a $ 2 $ e depois em relação a $ y $ de
a $ 4 $.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada na ordem $ dx , dy $:
Isso significa que, para cada valor de $ y $ entre
e $ 4 $, vamos integrar $ y + 2x $ em relação a $ x $ de
a $ 2 $.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $:
Integrando termo a termo:
Avaliando de $ y = -1 $ a $ y = 4 $:
Passo 6
Agora, para conferir, vamos inverter a ordem de integração. Ou seja, integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Os limites de $ y $ continuam de
a $ 4 $, e os de $ x $ de
a $ 2 $.
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna agora.
Passo 7
Integrando em relação a $ y $:
Avaliando de $ y = -1 $ a $ y = 4 $:
Passo 8
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $:
Avaliando de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{75}{2} $.