Expresse a integral dupla, sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor. Após, inverta a ordem de integração para conferir os resultados.
integral duplaR(y+2 x) d x d y, onde R é a região retangular de vértices (-1,-1),(2,-1), (2,4),(-1,4) Resposta: 75 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região retangular $ R $. O enunciado nos dá a integral
R
e a região $ R $ é um retângulo com vértices em integral duplaR(y + 2x) , dx , dy , R , (-1,-1) e (2,-1). Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e aprender como mudar a ordem de integração para conferir o resultado. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Como é um retângulo com vértices em R , (-1,-1), (2,-1) e (2,4), os limites para $ x $ vão de (-1,4) a $ 2 $ e para $ y $ vão de x a $ 4 $. Isso significa que, na integral iterada, primeiro vamos integrar em relação a $ x $ de -1 a $ 2 $ e depois em relação a $ y $ de 2 a $ 4 $.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada na ordem $ dx , dy $:
dx , dy
Isso significa que, para cada valor de $ y $ entre integraly=-1^4 integralx=-1^2 (y + 2x) , dx , dy e $ 4 $, vamos integrar $ y + 2x $ em relação a $ x $ de y a $ 2 $.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $:
x
Integrando termo a termo:
integralx=-1^2 (y + 2x) , dx
Agora, avaliamos de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
integral (y) , dx + integral (2x) , dx = yx + x^2

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $:
y
Integrando termo a termo:
integraly=-1^4 (3y + 3) , dy
Avaliando de $ y = -1 $ a $ y = 4 $:
32y^2 + 3y

Passo 6

Agora, para conferir, vamos inverter a ordem de integração. Ou seja, integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Os limites de $ y $ continuam de y a $ 4 $, e os de $ x $ de x a $ 2 $.
Então, a integral fica:
y
Vamos resolver a integral interna agora.

Passo 7

Integrando em relação a $ y $:
y
Avaliando de $ y = -1 $ a $ y = 4 $:
integraly=-1^4 (y + 2x) , dy = 12y^2 + 2x y

Passo 8

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $:
x
Avaliando de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
integralx=-1^2 ( 152 + 10x ) , dx = 152x + 5x^2

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{75}{2} $.

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