Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de z=f(x, y) com y=y0 no ponto P(x0, y0, z0).
z=2 x^2+5 y^2 x-12 x ; P(2,1,-6)

Passo 1

Vamos achar a inclinação da reta tangente à curva definida pela interseção da superfície z=f(x,y) com o plano y=y0 no ponto P(x0,y0,z0). O conteúdo é derivadas parciais e slices de superfícies, e vamos precisar usar a definição de derivada em relação a x com y fixo.

Passo 2

Com a restrição y=y0, a curva fica dada por z(x)=f(x,y0). Logo, a inclinação da reta tangente ao gráfico (x,z(x)) no plano y=y0 é dzdx=partial fpartial x(x,y0).

Passo 3

Para f(x,y)=2x^2+5y^2x-12x, calculamos a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x(x,y)=4x+5y^2-12

Passo 4

Agora avaliamos em (x0,y0)=(2,1):
partial fpartial x(2,1)=4cdot2+5cdot1^2-12=8+5-12=1

Resposta

A inclinação da reta tangente neste ponto é 1.

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