Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d x d y como soma de duas integrais iteradas. Após, inverta a ordem de integração:
8 y=x^3, y-x=4,4 x+y=9.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem três curvas: a parábola vista como função cúbica y=tfracx^38, a reta y=x+4 e a reta y=9-4x. O objetivo é descrever a região R que elas delimitam, escrever integral duplaR f(x,y),dx,dy como soma de duas integrais iteradas no sentido dy,dx e depois inverter a ordem para dx,dy. Vamos precisar de intersecções entre as curvas e de aplicar o Teorema de Fubini.

Passo 2

Para encontrar os vértices de R, resolvemos as interseções:
$$
y=x^38 y=x+4implies x^3=8x+32implies x=4, y=8\implies x^3=8x+32\implies x=4,\ y=8.$$
$$
y=x^38 y=9-4ximplies x^3=72-32ximplies x=2, y=1\implies x^3=72-32x\implies x=2,\ y=1. x+4=9-4ximplies x=1, y=5
x+4=9-4x\implies x=1,\ y=5.
$$
Logo os vértices são (2,1),(1,5),(4,8).

Passo 3

Analisando a projeção na reta x, vemos que a fronteira muda em x=2. Para 1<= x<=2 a região fica entre
reta inferior y=9-4xereta superior y=x+4
Para 2<= x<=4 ela fica entre
curva inferior y=tfracx^38ereta superior y=x+4
Portanto, em ordem dy,dx:
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integralx=1^2l(integraly=9-4x^x+4f(x,y),dyr)dx +integralx=2^4l(integraly=x^38^x+4f(x,y),dyr)dx

Passo 4

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. O menor y é 1 e o maior é 8. A fronteira em x muda em y=5 (ponto (1,5)).
Para 1<= y<=5, o lado esquerdo é dado pela reta 4x+y=9, ou seja x=(9-y)/4, e o lado direito é a curva y=x^3/8, ou x=(8y)^1/3.
Para 5<= y<=8, o lado esquerdo é a reta y=x+4, ou x=y-4, e o direito continua sendo x=(8y)^1/3.
Assim, em ordem dx,dy:
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integraly=1^5l(integralx=9-y4^(8y)^1/3f(x,y),dxr)dy +integraly=5^8l(integralx=y-4^(8y)^1/3f(x,y),dxr)dy

Resposta

Originalmente, escrevemos
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integral1^2integral9-4x^x+4f(x,y),dy,dx +integral2^4integralx^38^x+4f(x,y),dy,dx
Invertendo a ordem:
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integral1^5integral9-y4^(8y)^1/3f(x,y),dx,dy +integral5^8integraly-4^(8y)^1/3f(x,y),dx,dy

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