Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como soma de duas integrais iteradas. Após, inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem três curvas: a parábola vista como função cúbica
, a reta
e a reta
. O objetivo é descrever a região
que elas delimitam, escrever
como soma de duas integrais iteradas no sentido
e depois inverter a ordem para
. Vamos precisar de intersecções entre as curvas e de aplicar o Teorema de Fubini.
Passo 2
Para encontrar os vértices de
, resolvemos as interseções:
$$
$$
x+4=9-4x\implies x=1,\ y=5.
$$
Logo os vértices são .
Logo os vértices são
Passo 3
Analisando a projeção na reta
, vemos que a fronteira muda em
. Para
a região fica entre
Para
ela fica entre
Portanto, em ordem
:
Passo 4
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. O menor
é 1 e o maior é 8. A fronteira em
muda em
(ponto
).
Para , o lado esquerdo é dado pela reta
, ou seja
, e o lado direito é a curva
, ou
.
Para , o lado esquerdo é a reta
, ou
, e o direito continua sendo
.
Assim, em ordem :
Para
Para
Assim, em ordem
Resposta
Originalmente, escrevemos
Invertendo a ordem: