Questão 3. (Exatas) Verifique se são EDOs exatas e resolva:
y^2+cos t+(2 t y+e^y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
y^2+cos t+(2ty+e^y)y'=0
é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos aplicar a teoria de equações diferenciais exatas: identificar M(t,y) e N(t,y), checar partial M/partial y=partial N/partial t e, sendo exata, buscar uma função potencial psi(t,y) tal que psit=M e psiy=N.

Passo 2

Identificamos
M(t,y)=y^2+cos t,
N(t,y)=2ty+e^y
Então
partial Mpartial y=2y,
partial Npartial t=2y
Como partial M/partial y=partial N/partial t, a EDO é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe psi(t,y) tal que psit=M. Integramos M em relação a t:
psi(t,y)=integral (y^2+cos t),dt = y^2t+sin t + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Impondo psiy=N, temos
psiy = 2yt + h'(y)=2yt+e^y
Logo
h'(y)=e^y,
e integrando,
h(y)=e^y

Passo 5

Substituindo h(y), a função potencial fica
psi(t,y)=t,y^2+sin t+e^y
A solução geral implícita é
t,y^2+sin t+e^y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

t,y^2+sin t+e^y=C

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