Encontre todos os pontos da curva x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=8 onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a-1.

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{2/3}+y^{2/3}=8
e pede: encontrar todos os pontos (x,y) dessa curva em que a reta tangente tem coeficiente angular igual a a-1.
Informações relevantes que temos:
\;1) a equação da curva é \;x^{2/3}+y^{2/3}=8.\n
\;2) queremos pontos onde a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} vale \;a-1.\n
\;3) a curva está dada de forma implícita (não isolamos y explicitamente), então vamos usar diferenciação implícita para achar y'.

Passo 2

Diferencie ambos os lados da equação em relação a x. Vou lembrar como derivar potências fracionárias: a derivada de x^{m} em relação a x é m x^{m-1}. Para y^{m} com y=y(x) usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}y^{m}=m y^{m-1} y'.
Aplicando isso a cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr)=\frac{2}{3}x^{-1/3}
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2/3}\bigr)=\frac{2}{3}y^{-1/3}y'
Portanto, diferenciando a equação completa:
\frac{2}{3}x^{-1/3}+\frac{2}{3}y^{-1/3}y'=0.

Passo 3

Simplifico a equação acima multiplicando por \tfrac{3}{2}:
x^{-1/3}+y^{-1/3}y'=0.
Agora isolo y':
y'=-x^{-1/3}\,y^{1/3}.
Posso também escrever essa expressão, quando x\neq0, como
y'=-\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}.
Observação importante: as escritas são equivalentes quando x\neq0. A forma y'=-x^{-1/3}y^{1/3} vale em geral (desde que as potências estejam bem definidas), e a forma -\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{1/3} exige x\neq0 para não dividir por zero.

Passo 4

Queremos os pontos onde y'=a-1. Igualando:
- \left(\frac{y}{x}\right)^{1/3} = a-1.
Multiplico por -1:
\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3} = 1-a.
Agora elevo ao cubo (a operação de elevar ao cubo preserva sinais e é reversível para números reais):
\frac{y}{x} = (1-a)^{3}.
Isolando y:
y = x\,(1-a)^{3}.

Passo 5

Substituo essa relação na equação da curva para encontrar x. A equação original é
x^{2/3}+y^{2/3}=8.
Substituindo y=x(1-a)^{3}:
x^{2/3}+\bigl(x(1-a)^{3}\bigr)^{2/3}=8.

Passo 6

Calcule a segunda parcela usando propriedades de potências:
\bigl(x(1-a)^{3}\bigr)^{2/3}=x^{2/3}\bigl((1-a)^{3}\bigr)^{2/3}=x^{2/3}(1-a)^{2}.
Logo a equação fica
x^{2/3}+x^{2/3}(1-a)^{2}=8.
Fatorando x^{2/3}:
x^{2/3}\bigl(1+(1-a)^{2}\bigr)=8.
Isolando x^{2/3}:
x^{2/3}=\frac{8}{1+(1-a)^{2}}.

Passo 7

Agora passo de x^{2/3} para x. Note que, para x real, x^{2/3}=\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2} é um número não negativo. Se x^{2/3}=C\ge0 então \sqrt[3]{x}=\pm\sqrt{C}, portanto
x=\pm C^{3/2}.
Aplicando isso com C=\dfrac{8}{1+(1-a)^{2}} obtemos
x=\pm\left(\frac{8}{1+(1-a)^{2}}\right)^{3/2}.

Passo 8

Usamos y=x(1-a)^{3} para obter y. Assim, para cada sinal \pm em x obtemos o mesmo sinal em y:
y=\pm\left(\frac{8}{1+(1-a)^{2}}\right)^{3/2}(1-a)^{3}.
Portanto há dois pontos (com sinais iguais) que satisfazem a condição da tangente, exceto no caso degenerado em que a expressão se comporta de forma trivial (por exemplo a real qualquer ainda dá pontos reais, pois o denominador nunca é zero).

Resposta

\displaystyle \left(\pm\left(\frac{8}{1+(1-a)^{2}}\right)^{3/2},\\ \pm\left(\frac{8}{1+(1-a)^{2}}\right)^{3/2}(1-a)^{3}\right)

Exercícios relacionados