Encontre todos os pontos da curva
onde a reta tangente tem coeficiente angular igual
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede: encontrar todos os pontos
dessa curva em que a reta tangente tem coeficiente angular igual a
.
Informações relevantes que temos:
a equação da curva é
.\n
queremos pontos onde a derivada
vale
.\n
a curva está dada de forma implícita (não isolamos
explicitamente), então vamos usar diferenciação implícita para achar
.
Passo 2
Diferencie ambos os lados da equação em relação a
. Vou lembrar como derivar potências fracionárias: a derivada de
em relação a
é
. Para
com
usamos a regra da cadeia:
.
Aplicando isso a cada termo:
Portanto, diferenciando a equação completa:
Passo 3
Simplifico a equação acima multiplicando por
:
Agora isolo
:
Posso também escrever essa expressão, quando
, como
Observação importante: as escritas são equivalentes quando
. A forma
vale em geral (desde que as potências estejam bem definidas), e a forma
exige
para não dividir por zero.
Passo 4
Queremos os pontos onde
. Igualando:
Multiplico por
:
Agora elevo ao cubo (a operação de elevar ao cubo preserva sinais e é reversível para números reais):
Isolando
:
Passo 5
Substituo essa relação na equação da curva para encontrar
. A equação original é
Substituindo
:
Passo 6
Calcule a segunda parcela usando propriedades de potências:
Logo a equação fica
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 7
Agora passo de
para
. Note que, para
real,
é um número não negativo. Se
então
, portanto
Aplicando isso com
obtemos
Passo 8
Usamos
para obter
. Assim, para cada sinal
em
obtemos o mesmo sinal em
:
Portanto há dois pontos (com sinais iguais) que satisfazem a condição da tangente, exceto no caso degenerado em que a expressão se comporta de forma trivial (por exemplo
real qualquer ainda dá pontos reais, pois o denominador nunca é zero).