Seja
uma função dada. Prove que existe uma única função
, homogênea de grau
, tal que, para todo
. (Observação: o Exercício 8 nos diz que uma função homogênea fica completamente determinada quando se conhecem os valores que ela assume sobre os pontos de uma circunferência de centro na origem.)
Passo 1
O enunciado fornece uma função
e pede para construirmos homogênea de grau
tal que
e pede para construirmos
Sabendo que uma função homogênea de grau
satisfaz
vamos usar coordenadas polares para definir
e depois mostrar unicidade.
Passo 2
Para
escrevemos
e escolhemos o ângulo
tal que
Definimos então
No ponto
definimos
.
Como está tomado no intervalo
, a correspondência
é bem-definida e cobre todo o círculo.
Como
Passo 3
Mostramos que essa
satisfaz homogeneidade e a condição do círculo:
- Se
, então em coordenadas polares o raio passa a ser e o ângulo não muda. Logo
- Se
, então e ficamos com
Passo 4
Para a unicidade, suponha que
e
sejam duas funções homogêneas de grau
que coincidam sobre o círculo unitário. Dado
, escrevemos
. Então, por homogeneidade e pelo fato de
, temos
Em
ambas valem zero, como visto no passo anterior. Logo
.
Resposta
A única função
onde
e
. Essa definição cumpre
e
, e é única.]