Seja g:\left[0,2 \pi\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\right. uma função dada. Prove que existe uma única função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, homogênea de grau \lambda \neq 0, tal que, para todo \alpha \in[0,2 \pi[, f(\cos \alpha, \operatorname{sen} \alpha)=g(\alpha). (Observação: o Exercício 8 nos diz que uma função homogênea fica completamente determinada quando se conhecem os valores que ela assume sobre os pontos de uma circunferência de centro na origem.)

Passo 1

O enunciado fornece uma função \displaystyle g:[0,2\pi[\;\longrightarrow\;\mathbb{R}
e pede para construirmos f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} homogênea de grau \lambda\neq0 tal que
\forall\,\alpha\in[0,2\pi[\,,\quad f\bigl(\cos\alpha,\sin\alpha\bigr)=g(\alpha).
Sabendo que uma função homogênea de grau \lambda satisfaz
f(t x,t y)=t^{\lambda}f(x,y)\quad\forall\,t>0,
vamos usar coordenadas polares para definir f e depois mostrar unicidade.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos
r=\sqrt{x^2+y^2}>0,
e escolhemos o ângulo \alpha\in[0,2\pi[ tal que
x=r\cos\alpha,\quad y=r\sin\alpha.
Definimos então
f(x,y)=r^{\lambda}\,g(\alpha).
No ponto (0,0) definimos f(0,0)=0.
Como \alpha está tomado no intervalo [0,2\pi[, a correspondência (x,y)\mapsto\alpha é bem-definida e cobre todo o círculo.

Passo 3

Mostramos que essa f satisfaz homogeneidade e a condição do círculo:
  1. Se t>0, então em coordenadas polares o raio passa a ser tr e o ângulo não muda. Logo
f(t x,t y)=(tr)^{\lambda}\,g(\alpha)=t^{\lambda}\bigl(r^{\lambda}g(\alpha)\bigr) =t^{\lambda}f(x,y).
  1. Se (x,y)=(\cos\alpha,\sin\alpha), então r=1 e ficamos com
f(\cos\alpha,\sin\alpha)=1^{\lambda}\,g(\alpha)=g(\alpha).

Passo 4

Para a unicidade, suponha que f_1 e f_2 sejam duas funções homogêneas de grau \lambda que coincidam sobre o círculo unitário. Dado (x,y)\neq(0,0), escrevemos (x,y)=r(\cos\alpha,\sin\alpha). Então, por homogeneidade e pelo fato de f_1(\cos\alpha,\sin\alpha)=f_2(\cos\alpha,\sin\alpha)=g(\alpha), temos
f_1(x,y)=r^{\lambda}g(\alpha)=f_2(x,y).
Em (0,0) ambas valem zero, como visto no passo anterior. Logo f_1\equiv f_2.

Resposta

A única função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) homogênea de grau \(\lambda\neq0\) que estende \(g\) é dada por \[f(x,y)= \begin{cases} \bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^{\lambda}\, g\!\bigl(\alpha\bigr), & (x,y)\neq(0,0), \\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
onde \alpha\in[0,2\pi[\] satisfaz \(\cos\alpha=x/\sqrt{x^2+y^2} e \sin\alpha=y/\sqrt{x^2+y^2}. Essa definição cumpre \,f(t x,t y)=t^{\lambda}f(x,y) e f(\cos\alpha,\sin\alpha)=g(\alpha), e é única.]

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