Para encontrar a matriz de projeção no plano x-y-2 z=0, escolha dois vetores nesse plano e faça deles as colunas de A. O plano será o espaço coluna de A! Então calcule P=A(A^T A)^-1 A^T.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz de projeção ortogonal P sobre o plano
x - y - 2z = 0
em R^3.
Conteúdo: projeção ortogonal em subespaço vetorial. Fórmula chave: se A tem colunas que formam base do subespaço, então
P ;=; A,(A^T A)^-1A^T

Passo 2

Precisamos de dois vetores independentes que satisfaçam x - y - 2z=0.
Escolhendo parâmetros livres y e z e impondo x = y + 2z, podemos tomar por exemplo
v1 = (1,1,0), v2 = (2,0,1),
pois 1-1-2cdot0=0 e 2-0-2cdot1=0. Esses vetores são independentes, logo formam base do plano.

Passo 3

Formamos a matriz A cujas colunas são v1 e v2:
A = 1 & 2 1 & 0 0 & 1
Então
A^T A = 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 1 & 2 1 & 0 0 & 1 = 2 & 2 2 & 5

Passo 4

Calculamos o inverso de A^T A. O determinante é det=2cdot5-2cdot2=6, então
(A^T A)^-1 =16 5 & -2 -2 & 2

Passo 5

Agora montamos
P = A,(A^T A)^-1A^T
Fazendo as multiplicações, obtém-se
P = 56 & 16 & 13 16 & 56 & -13 13 & -13 & 13

Resposta

P = 56 & 16 & 13[6pt] 16 & 56 & -13[6pt] 13 & -13 & 13 ]

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