(Rápido e Recomendado) Suponha que A é a matriz identidade 4 por 4 sem sua última coluna. A é 4 por 3 . Projete b=(1,2,3,4) no espaço coluna de A. Qual é a forma da matriz de projeção P e qual é P?

Passo 1

O enunciado diz que A é a matriz identidade 4times4 sem a última coluna, logo
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
que é 4times3. Queremos projetar b=(1,2,3,4)^T no espaço coluna de A. Para isso vamos usar a fórmula da matriz de projeção ortogonal
P = Al(A^TAr)^-1A^T,
e então calcular Pb.

Passo 2

Calcular A^TA. Como as colunas de A são os três primeiros vetores canônicos de R^4, temos
A^TA = I3

Passo 3

Como A^TA = I3, seu inverso é l(A^TAr)^-1=I3. Portanto
P = A,I3,A^T = A,A^T

Passo 4

Multiplicando A por A^T obtemos
P = A,A^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora projetamos b aplicando P:
Pb = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 1234 = 1230

Resposta

A forma da matriz de projeção é
P = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
e a projeção de b no espaço coluna de A é ,(1,2,3,0)^T.

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