Se uma matriz m por m tem A^2=A e seu posto é m, prove que A=I.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem m tal que
A^2 = A
ou seja, A é idempotente, e afirma que o posto de A é m. Queremos provar que A é a matriz identidade Im.
Conteúdo: conceitos de posto, invertibilidade de matrizes quadradas e uso da propriedade idempotente.

Passo 2

Lembramos que, para uma matriz quadrada de ordem , ter posto igual a significa que suas colunas (ou linhas) são linearmente independentes em . Logo

Passo 3

Como A é invertível, existe A^-1. Partindo de
A^2 = A,
multiplicamos à direita (ou à esquerda) por A^-1 para eliminar um fator A. Por exemplo, à direita:
A^2 A^-1 = A,A^-1 Longrightarrow A,(A A^-1) = Im Longrightarrow A ,Im = Im Longrightarrow A = Im

Resposta

A = Im.

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