Se uma matriz
por
tem
e seu posto é
, prove que
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
tal que
ou seja,
é idempotente, e afirma que o posto de
é
. Queremos provar que
é a matriz identidade
.
Conteúdo: conceitos de posto, invertibilidade de matrizes quadradas e uso da propriedade idempotente.
Conteúdo: conceitos de posto, invertibilidade de matrizes quadradas e uso da propriedade idempotente.
Passo 2
Lembramos que, para uma matriz quadrada de ordem
, ter posto igual a
significa que suas colunas (ou linhas) são linearmente independentes em
. Logo
Passo 3
Como
é invertível, existe
. Partindo de
multiplicamos à direita (ou à esquerda) por
para eliminar um fator
. Por exemplo, à direita: