Encontrar o menor inteiro positivo
para o qual
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o menor inteiro positivo
tal que
.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece): a função é a soma dos divisores positivos de um inteiro. Não há outras informações ou restrições no enunciado.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece): a função
Passo 2
O que é
e propriedades úteis (aulas rápidas):
- Por definição,
é a soma de todos os divisores positivos de . Ex.: . - Se
é uma potência prima , então existe uma fórmula fechada:
onde
é primo e
é inteiro
. Aqui cada símbolo significa:
-
: primo que divide , -
: expoente dessa potência prima, -
: soma dos divisores de . - A função
é multiplicativa: se então
Isto permite construir
a partir das
das potências primas que aparecem na fatoração de
.
Passo 3
Estratégia prática: procurar o menor
tal que
. Como quero o menor inteiro, é natural testar os inteiros pequenos e também usar a teoria acima (casos de
primo, potência prima ou produto de fatores coprimos).
Primeiro vou calcular
para
bem pequenos para ter uma ideia:
-
. -
. -
. -
.
Nenhum de
tem
. Portanto se existir um
com
, ele é
.
Passo 4
Caso
primo. Se
primo então
. Resolver
dá
. Como
é primo,
. Assim
é uma solução.
Agora preciso verificar se existe alguma solução
(já verificado não) e se existe alguma solução
com
mas menor que
(impossível) ou outro
igual a 5 — já temos 5. Também devo garantir que não exista algum
que eu tenha negligenciado (já calculei todos). Então
é candidato ao menor.
Passo 5
Verificar outros tipos de
para garantir que não exista algum menor ou outro que torne a resposta ambígua.
- Potências primas com expoente
. Para e ,
Logo qualquer potência de primo com expoente
já tem
, portanto não pode dar
.
- Produto de pelo menos duas potências primas distintas (fatores coprimos). Pela multiplicatividade teríamos
. Cada fator é inteiro quando (porque é o menor valor para ). Para obter como produto de dois ou mais fatores inteiros só há as possibilidades de fatorar como (caso já tratado) ou ou etc. Mas não existe com , pois e para vale . Assim a única forma multiplicativa seria um único fator igual a , isto é, já estamos no caso ou com um único bloco (o que reduz ao caso primo ou uma potência prima com ). Como já mostramos, não há potência prima com expoente que dê . Portanto não existe produto de dois fatores coprimos que produza salvo a combinação com (que corresponderia a multiplicar por , caso trivial).
Conclusão parcial: a única possibilidade é
.
Passo 6
Conferência final e conclusão didática:
- Testei explicitamente os
menores que : nenhum tem . - O caso primo levou a
, que realmente dá . - Outros tipos (potência com expoente
, produto de fatores coprimos) não conseguem produzir sem produzir valores maiores ou impossíveis.
Portanto o menor inteiro positivo
com
é
.