Encontrar o menor inteiro positivo m para o qual \sigma(m)=6.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o menor inteiro positivo m tal que \sigma(m)=6.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece): a função \sigma é a soma dos divisores positivos de um inteiro. Não há outras informações ou restrições no enunciado.

Passo 2

O que é \sigma(n) e propriedades úteis (aulas rápidas):
  • Por definição, \sigma(n) é a soma de todos os divisores positivos de n. Ex.: \sigma(6)=1+2+3+6=12.
  • Se n é uma potência prima p^{a}, então existe uma fórmula fechada:
\sigma\big(p^{a}\big)=1+p+p^{2}+\cdots+p^{a}=\frac{p^{a+1}-1}{p-1},
onde p é primo e a é inteiro \ge 0. Aqui cada símbolo significa:
  • p: primo que divide n,
  • a: expoente dessa potência prima,
  • \sigma(p^{a}): soma dos divisores de p^{a}.
  • A função \sigma é multiplicativa: se \gcd(x,y)=1 então
\sigma(xy)=\sigma(x)\,\sigma(y).
Isto permite construir \sigma(n) a partir das \sigma das potências primas que aparecem na fatoração de n.

Passo 3

Estratégia prática: procurar o menor m>0 tal que \sigma(m)=6. Como quero o menor inteiro, é natural testar os inteiros pequenos e também usar a teoria acima (casos de m primo, potência prima ou produto de fatores coprimos).
Primeiro vou calcular \sigma(n) para n bem pequenos para ter uma ideia:
  • \sigma(1)=1.
  • \sigma(2)=1+2=3.
  • \sigma(3)=1+3=4.
  • \sigma(4)=1+2+4=7.
Nenhum de 1,2,3,4 tem \sigma(n)=6. Portanto se existir um m com \sigma(m)=6, ele é \ge 5.

Passo 4

Caso m primo. Se m=p primo então \sigma(p)=1+p. Resolver 1+p=6 p=5. Como 5 é primo, \sigma(5)=1+5=6. Assim m=5 é uma solução.
Agora preciso verificar se existe alguma solução m<5 (já verificado não) e se existe alguma solução m com 5<m mas menor que 5 (impossível) ou outro m igual a 5 — já temos 5. Também devo garantir que não exista algum m<5 que eu tenha negligenciado (já calculei todos). Então 5 é candidato ao menor.

Passo 5

Verificar outros tipos de m para garantir que não exista algum menor ou outro que torne a resposta ambígua.
  1. Potências primas com expoente a\ge 2. Para p\ge 2 e a\ge 2,
\sigma\big(p^{a}\big)=1+p+p^{2}+\cdots+p^{a}\ge 1+2+2^{2}=7.
Logo qualquer potência de primo com expoente \ge 2 já tem \sigma\ge 7, portanto não pode dar \sigma=6.
  1. Produto de pelo menos duas potências primas distintas (fatores coprimos). Pela multiplicatividade teríamos \sigma(n)=\prod \sigma(p_i^{a_i}). Cada fator \sigma(p_i^{a_i}) é inteiro \ge 3 quando p_i^{a_i}\ge 2 (porque \sigma(2)=3 é o menor valor para n>1). Para obter \sigma(n)=6 como produto de dois ou mais fatores inteiros \ge 3 só há as possibilidades de fatorar 6 como 6 (caso já tratado) ou 3\cdot 2 ou 3\cdot 3 etc. Mas não existe x com \sigma(x)=2, pois \sigma(1)=1 e para x\ge2 vale \sigma(x)\ge 3. Assim a única forma multiplicativa seria um único fator igual a 6, isto é, já estamos no caso \sigma(p^{a})=6 ou \sigma(n)=6 com um único bloco (o que reduz ao caso primo p=5 ou uma potência prima com \sigma=6). Como já mostramos, não há potência prima com expoente \ge2 que dê \sigma=6. Portanto não existe produto de dois fatores coprimos que produza 6 salvo a combinação com \sigma=1 (que corresponderia a multiplicar por 1, caso trivial).
Conclusão parcial: a única possibilidade é m=5.

Passo 6

Conferência final e conclusão didática:
  • Testei explicitamente os n menores que 5: nenhum tem \sigma(n)=6.
  • O caso primo levou a p=5, que realmente dá \sigma(5)=6.
  • Outros tipos (potência com expoente \ge2, produto de fatores coprimos) não conseguem produzir \sigma=6 sem produzir valores maiores ou impossíveis.
Portanto o menor inteiro positivo m com \sigma(m)=6 é 5.

Resposta

5

Exercícios relacionados