Encontrar o menor inteiro positivo
para o qual
.
Passo 1
O problema pede: encontrar o menor inteiro positivo
tal que
.
Informações dadas (diretas do enunciado): queremos um inteiro e sabemos que
deve valer
.
Informações dadas (diretas do enunciado): queremos um inteiro
Passo 2
O que é
e algumas propriedades úteis (aulas rápidas):
- Definição:
é a quantidade de inteiros com e (ou seja, o número de inteiros positivos menores ou iguais a que são coprimos com ). - Propriedade para primo
: . Explicação: todos os inteiros são coprimos com . - Para potência de primo
(com ) vale a fórmula
Motivo: dos
inteiros
, exatamente
são múltiplos de
, logo não coprimos; o restante são coprimos.
- Multiplicatividade para números coprimos: se
então
Isso é útil para decompor
quando sabemos a fatoração de
.
Passo 3
Observação geral que dá um limite inferior: para
sempre
, e a igualdade
acontece exatamente quando
é primo. Portanto, se
então
. Isso já diz que nenhum
serve.
Passo 4
Verificação direta dos inteiros pequenos (aprender fazendo): calcular
para
.
-
(por definição). -
(os inteiros coprimos com em são só ). -
(primo: ). -
. -
(primo: ). -
(pois e são coprimos).
Nenhum desses vale, confirmando a Observação do passo anterior.
Passo 5
Testar
. Como
é primo,
Portanto
é um inteiro positivo que satisfaz
. Pelo passo 3 e pelas verificações do passo 4, não existe inteiro positivo menor que
com
igual a
. Logo
é o menor.
(Aprofundamento opcional — como encontrar todas as soluções, para treinar a técnica) Se alguém quiser listar todos os tais que
, usa-se fatorações e as fórmulas acima: as soluções são
(primo),
(pois
),
(pois
) e
(pois
). Isso confirma que
é, mesmo entre todas as soluções, a menor.
(Aprofundamento opcional — como encontrar todas as soluções, para treinar a técnica) Se alguém quiser listar todos os
Resposta
7