Encontrar o menor inteiro positivo m para o qual \varphi(m)=6.

Passo 1

O problema pede: encontrar o menor inteiro positivo m tal que \varphi(m)=6.
Informações dadas (diretas do enunciado): queremos um inteiro m>0 e sabemos que \varphi(m) deve valer 6.

Passo 2

O que é \varphi(n) e algumas propriedades úteis (aulas rápidas):
  • Definição: \varphi(n) é a quantidade de inteiros k com 1\le k\le n e \gcd(k,n)=1 (ou seja, o número de inteiros positivos menores ou iguais a n que são coprimos com n).
  • Propriedade para primo p: \varphi(p)=p-1. Explicação: todos os inteiros 1,2,\dots,p-1 são coprimos com p.
  • Para potência de primo p^r (com r\ge1) vale a fórmula
\varphi(p^r)=p^r-p^{r-1}=p^{r-1}(p-1).
Motivo: dos p^r inteiros 1,\dots,p^r, exatamente p^{r-1} são múltiplos de p, logo não coprimos; o restante são coprimos.
  • Multiplicatividade para números coprimos: se \gcd(a,b)=1 então
\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).
Isso é útil para decompor \varphi(n) quando sabemos a fatoração de n.

Passo 3

Observação geral que dá um limite inferior: para n>1 sempre \varphi(n)\le n-1, e a igualdade \varphi(n)=n-1 acontece exatamente quando n é primo. Portanto, se \varphi(n)=6 então n\ge7. Isso já diz que nenhum n\le6 serve.

Passo 4

Verificação direta dos inteiros pequenos (aprender fazendo): calcular \varphi(n) para n=1,2,\dots,6.
  • \varphi(1)=1 (por definição).
  • \varphi(2)=1 (os inteiros coprimos com 2 em \{1,2\} são só 1).
  • \varphi(3)=2 (primo: 3-1=2).
  • \varphi(4)=\varphi(2^2)=2^1(2-1)=2.
  • \varphi(5)=4 (primo: 5-1=4).
  • \varphi(6)=\varphi(2)\varphi(3)=1\cdot2=2 (pois 2 e 3 são coprimos).
    Nenhum desses vale 6, confirmando a Observação do passo anterior.

Passo 5

Testar n=7. Como 7 é primo,
\varphi(7)=7-1=6.
Portanto m=7 é um inteiro positivo que satisfaz \varphi(m)=6. Pelo passo 3 e pelas verificações do passo 4, não existe inteiro positivo menor que 7 com \varphi igual a 6. Logo 7 é o menor.
(Aprofundamento opcional — como encontrar todas as soluções, para treinar a técnica) Se alguém quiser listar todos os n tais que \varphi(n)=6, usa-se fatorações e as fórmulas acima: as soluções são n=7 (primo), n=9 (pois \varphi(9)=3^1(3-1)=6), n=14 (pois \varphi(14)=\varphi(2)\varphi(7)=1\cdot6=6) e n=18 (pois \varphi(18)=\varphi(2)\varphi(9)=1\cdot6=6). Isso confirma que 7 é, mesmo entre todas as soluções, a menor.

Resposta

7

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