Encontrar o módulo da derivada direcional do campo vetorial F(x, y, z)=(x y^2, y z^2, z x^2), no ponto P0(1,1,0), na direção do vetor a=i+j+2 k.

Passo 1

A questão pede o módulo da derivada direcional do campo vetorial vec F(x,y,z)=(x y^2,; y z^2,; z x^2) no ponto P0=(1,1,0) na direção do vetor vec a=vec i+vec j+2vec k. O conteúdo é derivada direcional de campo vetorial, que se calcula como
Dvec uvec F=(vec ucdotnabla)vec F
precisamos do vetor unitário vec u=vec a/|vec a| e dos gradientes de cada componente de vec F.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor unitário vec u. Calculamos
|vec a|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6
e portanto
vec u=1raiz6(1,1,2)=l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r)

Passo 3

Em seguida calculamos os gradientes de cada componente de vec F:
F1=x y^2, nabla F1=(y^2,;2xy,;0),
F2=y z^2, nabla F2=(0,;z^2,;2yz),
F3=z x^2, nabla F3=(2xz,;0,;x^2)

Passo 4

Avaliamo-los no ponto P0=(1,1,0):
nabla F1(1,1,0)=(1^2,2cdot1cdot1,0)=(1,2,0),
nabla F2(1,1,0)=(0,0^2,2cdot1cdot0)=(0,0,0),
nabla F3(1,1,0)=(2cdot1cdot0,0,1^2)=(0,0,1)

Passo 5

Agora aplicamos Dvec uvec F=(vec ucdotnabla F1,;vec ucdotnabla F2,;vec ucdotnabla F3). Calculando cada produto escalar:
vec ucdotnabla F1=tfrac1raiz6cdot1+tfrac1raiz6cdot2+tfrac2raiz6cdot0=3raiz6,
vec ucdotnabla F2=0,
vec ucdotnabla F3=tfrac1raiz6cdot0+tfrac1raiz6cdot0+tfrac2raiz6cdot1=2raiz6
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Dvec uvec F(P0)=l(tfrac3raiz6,;0,;tfrac2raiz6r)

Passo 6

Por fim, o módulo de Dvec uvec F(P0) é
l|Dvec uvec F(P0)r|=raizl(tfrac3raiz6r)^2+0^2+l(tfrac2raiz6r)^2 =raiz9+46=raiz136

Resposta

raiz13/6

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