Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional do campo vetorial
no ponto
na direção do vetor
. O conteúdo é derivada direcional de campo vetorial, para o qual vamos precisar da matriz Jacobiana de
e do vetor direção unitário.
Passo 2
Para campos vetoriais em
, a derivada direcional na direção do vetor unitário
é dada por
. Primeiro, calculemos a matriz Jacobiana
. Dados
e
, temos as derivadas parciais:
$$
D\vec f(x,y)=
$$
Passo 3
Avaliando em
(isto é,
e
), obtemos
$$
D\vec f(0,0)=
=I_2
$$
Passo 4
Agora precisamos do vetor direção unitário. Temos
e seu módulo é
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Passo 5
Finalmente, a derivada direcional é