Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
f(x, y)=e^x(cos y i+sen y j) ; P0(0,0) ; na direção do vetor i-j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional do campo vetorial vec f(x,y)=e^x(cos y,vec i + sin y,vec j) no ponto P0=(0,0) na direção do vetor vec v=vec i-vec j. O conteúdo é derivada direcional de campo vetorial, para o qual vamos precisar da matriz Jacobiana de vec f e do vetor direção unitário.

Passo 2

Para campos vetoriais em R^2, a derivada direcional na direção do vetor unitário vec u é dada por Dvec uvec f(P0)=Dvec f(P0),vec u. Primeiro, calculemos a matriz Jacobiana Dvec f(x,y). Dados f1(x,y)=e^xcos y e f2(x,y)=e^xsin y, temos as derivadas parciais:
$$
D\vec f(x,y)=
Dvec f(x,y)= partial f1partial x & partial f1partial y partial f2partial x & partial f2partial y = e^xcos y & -e^xsin y e^xsin y & e^xcos y

$$

Passo 3

Avaliando em P0=(0,0) (isto é, x=0 e y=0), obtemos
$$
D\vec f(0,0)=
Dvec f(0,0)= e^0cos0 & -e^0sin0 e^0sin0 & e^0cos0 = 1 & 00 & 1 =I2


=I_2
$$

Passo 4

Agora precisamos do vetor direção unitário. Temos vec v=(1,-1) e seu módulo é
|vec v|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2
Logo
vec u=vec v|vec v|=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é
Dvec uvec f(0,0)=Dvec f(0,0),vec u=I2,vec u=vec u

Resposta

tfrac1raiz2,vec i - tfrac1raiz2,vec j

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