Encontre o domínio das seguintes funções: f(x)=raiz[4]x+3raiz2 x^3-3 x^2-23 x+12

Passo 1

A questão pede o domínio da função
f(x)=raiz[4]x+3raiz2x^3-3x^2-23x+12
Aqui o conteúdo é análise de domínio envolvendo raízes de índice par: o numerador tem raiz de índice 4 (precisa do radicando ≥0) e o denominador tem raiz quadrada (radicando >0, pois não pode zerar).

Passo 2

Primeiro, garanto que o radicando da raiz de índice 4 seja não negativo: x+3>=0. Logo
x>=-3

Passo 3

Agora exijo que o radicando da raiz quadrada seja positivo:
2x^3-3x^2-23x+12>0
Para resolver isso, fatoro o polinômio. Testando raízes racionais, encontro que x=4 é raiz. Fazendo a divisão sintética, vem
$$2x3-3x2-23x+12=(x-4)(2x^2+5x-3).
2x^3-3x^2-23x+12=(x-4)(2x^2+5x-3) ô2x^2+5x-3=2(x-\tfrac12)(x+3).$$
Logo
2x^2+5x-3=2(x-tfrac12)(x+3)

Passo 4

Para saber onde esse produto é positivo, estudo os sinais nos intervalos determinados pelas raízes -3,tfrac12,4. Como o fator 2>0, basta ver:
  • Em (-3,tfrac12): todos os fatores x+3>0, x-tfrac12<0, x-4<0 dão +cdot-cdot-=+.
  • Em (tfrac12,4): sinais +cdot+cdot-=-, excluído.
  • Em (4,infty): sinais +cdot+cdot+=+.
    Portanto
2x^3-3x^2-23x+12>0\nquando xin(-3,tfrac12)cup(4,infty).

Passo 5

Finalmente, junto com a restrição x>=-3, o domínio é a interseção de [ -3,infty) com onde o polinômio é positivo. Como em x=-3,tfrac12,4 o denominador zera, excluímos esses pontos. Assim o domínio é
$$(-3,\tfrac12)\cup(4,\infty).
$$

Resposta

O domínio é (-3,tfrac12)cup(4,infty).

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