Encontrar as normas de u e v, a distância de u a v e o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
a) u=(1,1,1,1) v=(0,0,1,1) com o produto interno usual de R^4.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(1,1,1,1), v=(0,0,1,1)
em R^4 com o produto interno usual. Ele pede:
– as normas |u| e |v|,
– a distância d(u,v),
– o ângulo theta entre u e v.
Para isso vamos usar as definições
|x|=raizlang<= x,xrang<=,
d(u,v)=|u-v| e
costheta=dfraclang<= u,vrang<=|u|;|v|.

Passo 2

Calcular a norma de u:
|u|=raiz1^2+1^2+1^2+1^2 =raiz4 =2
Calcular a norma de v:
|v|=raiz0^2+0^2+1^2+1^2 =raiz2

Passo 3

Calcular a distância d(u,v)=|u-v|. Primeiro
u-v=(1,1,1,1)-(0,0,1,1)=(1,1,0,0),
então
d(u,v)=raiz1^2+1^2+0^2+0^2 =raiz2

Passo 4

Calcular o produto interno lang<= u,vrang<=:
lang<= u,vrang<= =1cdot0+1cdot0+1cdot1+1cdot1 =2
Usar a fórmula do cosseno:
costheta =lang<= u,vrang<=|u|;|v| =22cdotraiz2 =1raiz2
Logo
theta=arccos!l(1raiz2r) =45^circ l(pi/4r)

Resposta

|u|=2
|v|=raiz2
d(u,v)=raiz2
theta=45^circ (ou pi/4)

Exercícios relacionados