Seja V um espaço vetorial sobre F. Sejam lang<=,rang<=1: V times V F e lang<=,rang<=2: V times V F dois produtos internos de V. Mostre que
e) Os produtos internos em F com a soma e o produto por escalares definidos acima não formam um subespaço vetorial das funções de V times V em F com a soma e o produto por escalares definidos usualmente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
I=lang<=cdot,cdotrang<=:Vtimes VtoFmidlang<=cdot,cdotrang<= é produto interno em Vé
não é subespaço de
F=f:Vtimes VtoF
quando em I usamos soma e escalar como em F. Para ser subespaço, I teria que conter a função zero e ser fechado sob soma e produto por escalar. Vamos ver que isso falha.

Passo 2

Mostramos que a função zero
0Vtimes V:Vtimes VtoF, 0Vtimes V(x,y)=0
não é produto interno, logo I não contém o elemento neutro de F. De fato, em qualquer produto interno lang<=cdot,cdotrang<= tem-se
lang<= v,vrang<=>0se vneq0,
mas para 0Vtimes V temos
0Vtimes V(v,v)=0forall,v,
violando a positividade definida. Portanto 0Vtimes VnotinI.

Passo 3

Mesmo sem zero, poderia falhar fechamento por escalar. Seja lang<=cdot,cdotrang<=1inI e tome o escalar alpha=-1. Então alphalang<=cdot,cdotrang<=1 é a função
(x,y)mapsto -lang<= x,yrang<=1
Esse candidato satisfaz bilinearidade e simetria (ou conjugado-simet.), mas não satisfaz positividade, pois para vneq0
(-1)lang<= v,vrang<=1<0
Logo -lang<=cdot,cdotrang<=1notinI, mostrando que I não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto dos produtos internos não contém a função zero e não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo -1 faz falhar a positividade), logo não é subespaço vetorial de F.

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