Seja
um espaço vetorial sobre
. Sejam
e
dois produtos internos de
. Mostre que
e) Os produtos internos em
com a soma e o produto por escalares definidos acima não formam um subespaço vetorial das funções de
em
com a soma e o produto por escalares definidos usualmente.
e) Os produtos internos em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
não é subespaço de
quando em usamos soma e escalar como em
. Para ser subespaço,
teria que conter a função zero e ser fechado sob soma e produto por escalar. Vamos ver que isso falha.
não é subespaço de
quando em
Passo 2
Mostramos que a função zero
não é produto interno, logo
não contém o elemento neutro de
. De fato, em qualquer produto interno
tem-se
mas para
temos
violando a positividade definida. Portanto
.
Passo 3
Mesmo sem zero, poderia falhar fechamento por escalar. Seja
e tome o escalar
. Então
é a função
Esse candidato satisfaz bilinearidade e simetria (ou conjugado-simet.), mas não satisfaz positividade, pois para
Logo
, mostrando que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto dos produtos internos não contém a função zero e não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo
faz falhar a positividade), logo não é subespaço vetorial de
.