Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno e
uma transformação linear.
a) Mostre que se
para todo
e
, então
é a transformação linear nula.
Agora suponha que
e que
para todo
.
b) Mostre que
para todo
, u e
.
c) Usando os valores
e
, conclua que
para todo
e
. Logo
.
Agora suponha que
. Considere
a transformação linear
.
d) Mostre que
para todo
.
Responda, usando os resultados dos itens anteriores, a seguinte questão
e) Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno. Sejam
e
transformações lineares tais que
para todo
. Mostre que se
, então
e que se
, então isto não é necessariamente verdade. (Use que
para todo
se, e somente se,
para todo
.
a) Mostre que se
b) Mostre que
c) Usando os valores
d) Mostre que
e) Seja
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
num espaço com produto interno
sobre
.
(a) Queremos mostrar que se para todo
então
é a transformação nula.
(b)–(c) No caso , partindo de
para todo
, usamos a sesquilinearidade do produto interno para concluir que
para todo
, e assim
.
(d) No caso real exibimos o exemplo em
que satisfaz
mas não é nula.
(e) Finalmente, dado lineares com
para todo
, definimos
e aplicamos os itens anteriores para concluir que sobre
vale
(logo
), mas sobre
isso não é obrigatório, pois
pode ser como em (d).
(a) Queremos mostrar que se
(b)–(c) No caso
(d) No caso real exibimos o exemplo
(e) Finalmente, dado
Passo 2
(a) Suponha
para todo
. Fixe
. Então
para todo
. Pelo fato de o produto interno ser não-degenerado, isso implica
. Como vale para todo
, segue
.
Passo 3
(b) Suponha agora
e que
para todo
. Para
e
, use a linearidade em primeiro argumento e conjugado-linearidade em segundo:
Expandindo cada termo e lembrando
, obtém-se
Passo 4
(c) Escolhendo
na identidade acima:
Escolhendo
:
Juntando as duas igualdades segue
para todo
. Pelo item (a),
.
Passo 5
(d) Em
com o produto interno usual
, considere
Então para
Logo
mas
não é nula.
Passo 6
(e) Seja
. Então
para todo
.
Se , pelos itens (b)–(c) segue
e logo
.
Se , em geral
pode ser como em (d) e não nulo, de modo que
mas
, portanto
.
Se
Se
Resposta
Concluímos que sobre
qualquer transformação linear é determinada por
(logo
), mas sobre
isso não se garante.