Seja V um espaço vetorial sobre F com produto interno e F: V V uma transformação linear.
a) Mostre que se lang<= F(u), vrang<==0 para todo u e v in V, então F é a transformação linear nula.
Agora suponha que F=C e que lang<= F(u), urang<==0 para todo u in V.
b) Mostre que 0=lang<= F(alpha u+v), alpha u+vrang<==baralphalang<= F(v), urang<=+alphalang<= F(u), vrang<= para todo alpha in C, u e v in V.
c) Usando os valores alpha=1 e alpha=i, conclua que lang<= F(u), vrang<==0 para todo u e v in V. Logo F=0.
Agora suponha que F=R. Considere F: R^2 R^2 a transformação linear F(x, y)=(y,-x).
d) Mostre que lang<= F(u), urang<==0 para todo u in R^2.
Responda, usando os resultados dos itens anteriores, a seguinte questão
e) Seja V um espaço vetorial sobre F com produto interno. Sejam F: V V e G: V V transformações lineares tais que lang<= F(u), urang<==lang<= G(u), urang<= para todo u in V. Mostre que se F=C, então F=G e que se F=R, então isto não é necessariamente verdade. (Use que lang<= F(u), urang<==lang<= G(u), urang<= para todo u in V se, e somente se, lang<=(F-G)(u), urang<==0 para todo u in V).

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear F:Vto V num espaço com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= sobre F.
(a) Queremos mostrar que se lang<= F(u),vrang<==0 para todo u,vin V então F é a transformação nula.
(b)–(c) No caso F=C, partindo de lang<= F(u),urang<==0 para todo u, usamos a sesquilinearidade do produto interno para concluir que lang<= F(u),vrang<==0 para todo u,v, e assim F=0.
(d) No caso real exibimos o exemplo F(x,y)=(y,-x) em R^2 que satisfaz lang<= F(u),urang<==0 mas não é nula.
(e) Finalmente, dado F,G lineares com lang<= F(u),urang<==lang<= G(u),urang<= para todo u, definimos H=F-G e aplicamos os itens anteriores para concluir que sobre C vale H=0 (logo F=G), mas sobre R isso não é obrigatório, pois H pode ser como em (d).

Passo 2

(a) Suponha lang<= F(u),vrang<==0 para todo u,v. Fixe u. Então lang<= F(u),vrang<==0 para todo v. Pelo fato de o produto interno ser não-degenerado, isso implica F(u)=0. Como vale para todo u, segue Fequiv0.

Passo 3

(b) Suponha agora F=C e que lang<= F(u),urang<==0 para todo u. Para u,vin V e alphainC, use a linearidade em primeiro argumento e conjugado-linearidade em segundo:
0=llang<= F(alpha u+v),,alpha u+vrrang<= =llang<= alpha F(u)+F(v),,alpha u+vrrang<= =alphallang<= F(u),alpha u+vrrang<= +llang<= F(v),alpha u+vrrang<=
Expandindo cada termo e lembrando lang<= F(u),urang<==lang<= F(v),vrang<==0, obtém-se
0=baralphalang<= F(v),urang<=+alphalang<= F(u),vrang<=

Passo 4

(c) Escolhendo alpha=1 na identidade acima:
0=lang<= F(v),urang<=+lang<= F(u),vrang<=
Escolhendo alpha=i:
0=-ilang<= F(v),urang<= + ilang<= F(u),vrang<= Longrightarrow lang<= F(v),urang<==lang<= F(u),vrang<=
Juntando as duas igualdades segue lang<= F(u),vrang<==0 para todo u,v. Pelo item (a), F=0.

Passo 5

(d) Em R^2 com o produto interno usual lang<= (x,y),(x,y)rang<==x^2+y^2, considere
F(x,y)=(y,-x)
Então para u=(x,y)
lang<= F(u),urang<= =lang<= (y,-x),(x,y)rang<= =y,x + (-x),y =0
Logo lang<= F(u),urang<==0 mas F não é nula.

Passo 6

(e) Seja H=F-G. Então lang<= H(u),urang<==0 para todo u.
Se F=C, pelos itens (b)–(c) segue H=0 e logo F=G.
Se F=R, em geral H pode ser como em (d) e não nulo, de modo que lang<= H(u),urang<==0 mas Hneq0, portanto Fneq G.

Resposta

Concluímos que sobre C qualquer transformação linear é determinada por lang<= F(u),urang<= (logo F=G), mas sobre R isso não se garante.

Exercícios relacionados