Em , a transformação gira os vetores de um ângulo em sentido anti-horário.
(a) Escreva uma expressão para . Para isto, considere o que faz com cada vetor da base canônica.
(b) Escreva a matriz de rotação em relação à base canônica.
(c) Considere a base girada . Quais as coordenadas de um vetor , após ser transformado por na base canônica e na base girada ?
(d) Calcule a matriz de rotação por um ângulo . Verifique que é a matriz inversa de . O que isso significa?
Passo 1
O enunciado trata da transformação linear que, em , gira todo vetor em um ângulo no sentido anti-horário. O conteúdo é transformação linear, matriz de mudança de base e inversa de matriz. Para resolver vamos usar (1) a ação de nos vetores da base canônica, (2) montar a matriz em relação à base canônica, (3) entender coordenadas em bases diferente e (4) calcular inversa via rotação de ângulo oposto.
Passo 2
Para achar a fórmula de , observamos que gira para
e gira para
Como é linear, para um vetor genérico temos
Passo 3
A matriz de na base canônica é dada pelas colunas sendo as imagens de e . Logo
Passo 4
Depois de aplicar ao vetor , suas coordenadas na base canônica são
Para achar as coordenadas desse mesmo vetor na base girada
usamos que a mudança de base de para a canônica é a matriz . Assim, denotando as coordenadas de em , temos
Ou seja, em as coordenadas voltam a ser .
Passo 5
A rotação de ângulo tem fórmula
logo sua matriz é
É fácil ver que
[R-theta],[Rtheta] = I e [Rtheta],[R-theta] = I,
portanto R-theta é a inversa de Rtheta. Isso significa geometricamente que girar um vetor em theta e depois em -theta o traz de volta à posição original.