Em R^2, a transformação Rtheta(x, y) gira os vetores de um ângulo theta em sentido anti-horário.
(a) Escreva uma expressão para Rtheta(x, y). Para isto, considere o que Rtheta faz com cada vetor da base canônica.
(b) Escreva a matriz de rotação [Rtheta] em relação à base canônica.
(c) Considere a base girada Btheta=Rtheta(e1), Rtheta(e2). Quais as coordenadas de um vetor (a, b), após ser transformado por Rtheta na base canônica e na base girada Btheta ?
(d) Calcule a matriz de rotação por um ângulo -theta. Verifique que R-theta é a matriz inversa de Rtheta. O que isso significa?

Passo 1

O enunciado trata da transformação linear Rtheta que, em R^2, gira todo vetor em um ângulo theta no sentido anti-horário. O conteúdo é transformação linear, matriz de mudança de base e inversa de matriz. Para resolver vamos usar (1) a ação de Rtheta nos vetores da base canônica, (2) montar a matriz em relação à base canônica, (3) entender coordenadas em bases diferente e (4) calcular inversa via rotação de ângulo oposto.

Passo 2

Para achar a fórmula de Rtheta(x,y), observamos que
e1=(1,0) gira para
Rtheta(1,0) = (costheta,;sintheta),
e e2=(0,1) gira para
Rtheta(0,1) = (-sintheta,;costheta)
Como Rtheta é linear, para um vetor genérico (x,y)=x,e1 + y,e2 temos
Rtheta(x,y) = x,Rtheta(1,0) + y,Rtheta(0,1) = l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar)

Passo 3

A matriz de Rtheta na base canônica é dada pelas colunas sendo as imagens de e1 e e2. Logo
l[Rthetar] = costheta & -sintheta sintheta & costheta

Passo 4

Depois de aplicar Rtheta ao vetor (a,b), suas coordenadas na base canônica são
Rtheta(a,b) ;=;l(acostheta - bsintheta,;asintheta + bcosthetar)
Para achar as coordenadas desse mesmo vetor na base girada
Btheta = Rtheta(e1),,Rtheta(e2),
usamos que a mudança de base de Btheta para a canônica é a matriz [Rtheta]. Assim, denotando [v]Btheta as coordenadas de v em Btheta, temos
[v]Btheta = [Rtheta]^-1,[v]can = [Rtheta]^-1,Rtheta,(a,b)^T = (a,b)^T
Ou seja, em Btheta as coordenadas voltam a ser (a,b).

Passo 5

A rotação de ângulo -theta tem fórmula
R-theta(x,y) = l(xcos(-theta) - ysin(-theta),;xsin(-theta)+ycos(-theta)r) = l(xcostheta + ysintheta,;-,xsintheta + ycosthetar),
logo sua matriz é
l[R-thetar] = costheta & sintheta -sintheta & costheta
É fácil ver que
[R-theta],[Rtheta] = I e [Rtheta],[R-theta] = I,
portanto R-theta é a inversa de Rtheta. Isso significa geometricamente que girar um vetor em theta e depois em -theta o traz de volta à posição original.

Resposta

(a)
Rtheta(x,y) = l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar)
(b)
l[Rthetar] = costheta & -sintheta sintheta & costheta
(c)
  • Em base canônica:
    l(acostheta - bsintheta,;asintheta + bcosthetar).
  • Em base Btheta:
    (a,b).
(d)
l[R-thetar] = costheta & sintheta -sintheta & costheta ,
que de fato é l[Rthetar]^-1. Geometricamente, girar em theta e depois em -theta retorna o vetor original.

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