integral0^1 x1+x^2 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida
integral0^1 x1+x^2,dx
Esse conteúdo envolve reconhecimento de uma função cuja derivada aparece no numerador e aplicação de substituição simples para integrar logaritmos.

Passo 2

Note que o denominador é 1+x^2 e o numerador é x. A derivada de 1+x^2 é 2x, ou seja, aparece um fator x. Isso sugere a substituição
u = 1 + x^2
que vai simplificar a integral.

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos
du = 2x,dx
Portanto, x,dx = 12du. Também precisamos trocar os limites de integração:
quando x=0, u=1+0^2=1; quando x=1, u=1+1^2=2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, ela vira
integralu=1^u=2 1u cdot 12 ,du = 12 integral1^2 1u ,du
Agora é só integrar 1/u, que dá ln|u|.

Passo 5

Calculando a integral:
12 integral1^2 1u ,du = 12 l[ln|u|r]1^2 = 12 (ln 2 - ln 1)
Como ln 1 = 0, sobra

Passo 6

12 ln 2

Resposta

tfrac12ln 2

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