Calcule as seguintes integrais duplas.
(4 pontos) integral duplaR(x+y) d A, onde R é limitada por y=raizx e por y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR(x+y),dA
onde R é a região limitada pelas curvas
y = x^2 e y = raizx
Para isso, vamos usar integrais iteradas em coordenadas cartesianas: primeiro identificamos a interseção e os limites de integração, depois integramos em y e finalmente em x.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^2 = raizx,
com x>=0. Elevando ao quadrado, vem
x^4 = x ;Longrightarrow; x(x^3 - 1)=0 ;Longrightarrow; x=0,;x=1
Entre 0 e 1, temos x^2<=raizx, logo
0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx
A integral vira
integral0^1!integralx^2^raizx (x+y),dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integralx^2^raizx(x+y),dy = l[x,y + tfracy^22r]y=x^2^y=raizx = xraizx + tfracx2 -l(x^3 + tfracx^42r) = x^3/2 + tfracx2 - x^3 - tfracx^42

Passo 4

Agora integramos de x=0 a 1:
integral0^1l(x^3/2 + tfracx2 - x^3 - tfracx^42r)dx = l[tfrac25x^5/2 + tfracx^24 - tfracx^44 - tfracx^510r]0^1 = tfrac25 + tfrac14 - tfrac14 - tfrac110 = tfrac310

Resposta

integral duplaR(x+y),dA = tfrac310

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