Encontrar o plano tangente e vetor normal em
.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede o plano tangente e o vetor normal à superfície
no ponto
. Esse é um problema de cálculo de superfícies implícitas, onde usamos o gradiente para obter o normal e a equação do plano tangente.
Passo 2
Definimos a função de nível
de modo que a superfície é dada por
. Sabemos que o gradiente
em um ponto é perpendicular à superfície nesse ponto.
Passo 3
Calculamos o gradiente de
:
Avaliando em
temos
Passo 4
A equação geral do plano tangente a
em
é
Substituindo
e expandindo, obtemos
Dividindo por
, fica
Passo 5
O vetor normal ao plano tangente é justamente o gradiente em
, ou seja,
Resposta
Plano tangente:
Vetor normal:
Vetor normal: