Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
(e) x^2+y^2+z^2=7, P=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e o vetor normal à superfície x^2+y^2+z^2=7 no ponto P=(1,2,1). Esse é um problema de cálculo de superfícies implícitas, onde usamos o gradiente para obter o normal e a equação do plano tangente.

Passo 2

Definimos a função de nível
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,
de modo que a superfície é dada por F(x,y,z)=7. Sabemos que o gradiente nabla F em um ponto é perpendicular à superfície nesse ponto.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z)=l(2x,;2y,;2zr)
Avaliando em P=(1,2,1) temos
nabla F(1,2,1) = (2cdot1,;2cdot2,;2cdot1) = (2,4,2)

Passo 4

A equação geral do plano tangente a F(x,y,z)=7 em P é
nabla F(1,2,1)cdotl(x-1,;y-2,;z-1r)=0
Substituindo (2,4,2) e expandindo, obtemos
2(x-1)+4(y-2)+2(z-1)=0
2x-2+4y-8+2z-2=0
2x+4y+2z-12=0
Dividindo por 2, fica
x+2y+z-6=0

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é justamente o gradiente em P, ou seja,
n = (2,4,2)

Resposta

Plano tangente: x+2y+z-6=0
Vetor normal: (2,4,2)

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