Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
(a) z=raizx^2+y^2, P=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z = raizx^2 + y^2
e o ponto P = (0,1,1).
O que a gente vai usar aqui são as derivadas parciais de
f(x,y) = raizx^2 + y^2
para montar a equação do plano tangente em P e daí extrair o vetor normal.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
fx(x,y) = partialpartial xraizx^2 + y^2 = xraizx^2 + y^2,
fy(x,y) = partialpartial yraizx^2 + y^2 = yraizx^2 + y^2

Passo 3

Avaliar as derivadas em P=(0,1). Primeiro note que
raiz0^2 + 1^2 = 1
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fx(0,1) = 01 = 0, fy(0,1) = 11 = 1

Passo 4

Usar a fórmula do plano tangente a z=f(x,y):
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=0,;y0=1,;z0=1 e os valores das derivadas:
z - 1 = 0cdot(x-0) + 1cdot(y-1) ;Longrightarrow; z - 1 = y - 1 ;Longrightarrow; z - y = 0

Passo 5

Para um plano escrito como
A x + B y + C z + D = 0
o vetor normal é (A,B,C). Aqui temos
z - y = 0 Long<=ftrightarrow 0cdot x ;+; (-1),y ;+; 1,z ;+; 0 = 0,
então
vec n = (0,,-1,,1)

Resposta

Plano tangente:
z - y = 0 (ou z = y)
Vetor normal em P:
vec n = (0,-1,1)

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