Seja w=ln (t^2+s^2), onde t=e^x+y e s=x^3-y^2. Determine a derivada parcial de w em relação a x, ou seja, calcule partial wpartial x.

Passo 1

O enunciado define
w = lnl(t^2 + s^2r),
com
t = e^x+y, s = x^3 - y^2,
e pede partial w/partial x. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de ln.

Passo 2

Definimos a variável intermediária
u = t^2 + s^2,
de modo que
w = ln(u)
Logo, pela regra da cadeia,
partial wpartial x = 1u,partial upartial x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u em relação a t e s:
partial upartial t = 2t, partial upartial s = 2s

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de t e s em relação a x:
partial tpartial x = partialpartial xl(e^x+yr) = e^x+y = t,
partial spartial x = partialpartial xl(x^3 - y^2r) = 3x^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia completa:
partial upartial x = partial upartial t,partial tpartial x + partial upartial s,partial spartial x = 2tcdot t + 2scdot 3x^2 = 2t^2 + 6x^2 s
Portanto,
partial wpartial x = 1ul(2t^2 + 6x^2 sr) = 2t^2 + 6x^2 st^2 + s^2

Resposta

partial wpartial x = 2,e^2(x+y) + 6,x^2,(x^3 - y^2)e^2(x+y) + (x^3 - y^2)^2

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