Encontrar o plano tangente e vetor normal em
.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o plano tangente à superfície dada e encontrar um vetor normal a esse plano no ponto
.
Informações dadas: a superfície é definida por e o ponto é
.
Observação importante: o ponto deve estar na superfície; verificaremos isso mais adiante.
Informações dadas: a superfície é definida por
Observação importante: o ponto
Passo 2
Ideia central (explicação didática): quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função
, o plano tangente em um ponto
é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. Para construir esse plano precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e a
, que medem as inclinações da superfície nas direções dos eixos
e
.
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando apenas muda (mantendo fixo). Ela dá a inclinação da reta tangente ao traço da superfície na direção . - A derivada parcial
é análoga, para variações em .
Fórmula do plano tangente (padrão que vamos usar):
Aqui
indica
e
indica
. Cada termo explica: começamos no valor
e acrescentamos incrementos lineares nas direções
e
.
Vetor normal ao plano tangente: se escrevemos o plano em forma linear
, então
é um vetor normal ao plano. Outra forma direta de obter um vetor normal para o gráfico
é
pois esse vetor é ortogonal a ambos os vetores tangentes gerados por variar
e por variar
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
É mais simples reescrever
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante), usamos a regra do produto/potência:
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
e verificar que
está na superfície.
Avaliação de
no ponto:
portanto a coordenada
do ponto
é
, ou seja,
realmente pertence à superfície — verificação OK.
Avaliação de
e
:
Passo 5
Construir o plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora simplificamos passo a passo:
Somando tudo:
Também podemos escrever o plano em forma geral multiplicando por
:
ou
que é a forma
.
Passo 6
Obter um vetor normal ao plano.
Da forma geral
o vetor normal é dado por
Usando a fórmula direta para o gráfico,
, obtemos
que é proporcional a
(basta multiplicar por
). Qualquer múltiplo não nulo de
também é normal — a direção é o que importa.
Passo 7
Verificação rápida (controle de consistência): os vetores tangentes às curvas geradas variando
e variando
em
são, respectivamente,
Produto escalar com
:
Como os produtos escalares são zero,
é realmente ortogonal aos vetores tangentes — confirmação OK.
Resposta
Plano tangente:
Vetor normal (direção):
Vetor normal (direção):