Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
z=x / y, P=(6,3,2).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o plano tangente à superfície dada e encontrar um vetor normal a esse plano no ponto P.
Informações dadas: a superfície é definida por z=\dfrac{x}{y} e o ponto é P=(6,3,2).
Observação importante: o ponto P deve estar na superfície; verificaremos isso mais adiante.

Passo 2

Ideia central (explicação didática): quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função \;z=f(x,y)\;, o plano tangente em um ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. Para construir esse plano precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e a y, que medem as inclinações da superfície nas direções dos eixos x e y.
O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) é a taxa de variação de f quando apenas x muda (mantendo y fixo). Ela dá a inclinação da reta tangente ao traço da superfície na direção x.
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) é análoga, para variações em y.
Fórmula do plano tangente (padrão que vamos usar):
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui f_x indica \dfrac{\partial f}{\partial x} e f_y indica \dfrac{\partial f}{\partial y}. Cada termo explica: começamos no valor f(x_0,y_0) e acrescentamos incrementos lineares nas direções x e y.
Vetor normal ao plano tangente: se escrevemos o plano em forma linear \;Ax+By+Cz+D=0\;, então (A,B,C) é um vetor normal ao plano. Outra forma direta de obter um vetor normal para o gráfico z=f(x,y) é
\mathbf{n}=(-f_x,-f_y,1),
pois esse vetor é ortogonal a ambos os vetores tangentes gerados por variar x e por variar y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{x}{y}.
É mais simples reescrever \;f(x,y)=x\,y^{-1}\;.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_x(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(xy^{-1}\big)=y^{-1}=\dfrac{1}{y}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante), usamos a regra do produto/potência:
f_y(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(xy^{-1}\big)=x\cdot(-1)\,y^{-2}=-\dfrac{x}{y^{2}}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(6,3) e verificar que P está na superfície.
Avaliação de f no ponto:
f(6,3)=\dfrac{6}{3}=2,
portanto a coordenada z do ponto P é 2, ou seja, P=(6,3,2) realmente pertence à superfície — verificação OK.
Avaliação de f_x e f_y:
f_x(6,3)=\dfrac{1}{3},
f_y(6,3)=-\dfrac{6}{3^{2}}=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Construir o plano tangente usando a fórmula:
z = f(6,3) + f_x(6,3)\,(x-6) + f_y(6,3)\,(y-3).
Substituindo os valores:
z = 2 + \dfrac{1}{3}(x-6) - \dfrac{2}{3}(y-3).
Agora simplificamos passo a passo:
\dfrac{1}{3}(x-6)=\dfrac{1}{3}x-2,
-\dfrac{2}{3}(y-3)=-\dfrac{2}{3}y+2.
Somando tudo:
z = 2 + \left(\dfrac{1}{3}x-2\right) + \left(-\dfrac{2}{3}y+2\right) = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}y + 2.
Também podemos escrever o plano em forma geral multiplicando por 3:
3z = x - 2y + 6
ou
x - 2y - 3z + 6 = 0,
que é a forma Ax+By+Cz+D=0.

Passo 6

Obter um vetor normal ao plano.
Da forma geral x - 2y - 3z + 6 = 0 o vetor normal é dado por
\mathbf{n}=(1,-2,-3).
Usando a fórmula direta para o gráfico, \mathbf{n}=(-f_x,-f_y,1), obtemos
\mathbf{n}= \left(-\dfrac{1}{3},\; \dfrac{2}{3},\;1\right),
que é proporcional a (1,-2,-3) (basta multiplicar por -3). Qualquer múltiplo não nulo de (1,-2,-3) também é normal — a direção é o que importa.

Passo 7

Verificação rápida (controle de consistência): os vetores tangentes às curvas geradas variando x e variando y em P são, respectivamente,
\mathbf{t}_x=(1,0,f_x(6,3))=\left(1,0,\dfrac{1}{3}\right),
\mathbf{t}_y=(0,1,f_y(6,3))=\left(0,1,-\dfrac{2}{3}\right).
Produto escalar com \mathbf{n}=(1,-2,-3):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}_x = 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + (-3)\cdot\dfrac{1}{3} = 1 - 1 = 0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}_y = 1\cdot0 + (-2)\cdot1 + (-3)\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) = -2 + 2 = 0.
Como os produtos escalares são zero, \mathbf{n} é realmente ortogonal aos vetores tangentes — confirmação OK.

Resposta

Plano tangente: z=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}y+2
Vetor normal (direção): \mathbf{n}=(1,-2,-3)

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