Resolva o sistema abaixo, com precisão de duas casas decimais, usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial:
\left(\begin{array}{lll} 3 & -4 & 3 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 4 & -2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right) .
(Obs.: O truncamento deve ser aplicado a cada operação aritmética.)

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} 3 & -4 & 3\\[3pt] 2 & -3 & 1\\[3pt] 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[3pt] x_{2}\\[3pt] x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\[3pt] 0\\[3pt] 3 \end{pmatrix},
usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Informações relevantes fornecidas:
\text{Matriz }A=\begin{pmatrix}3 & -4 & 3\\[3pt]2 & -3 & 1\\[3pt]4 & -2 & 1\end{pmatrix},\qquad \text{vetor }b=\begin{pmatrix}-2\\[3pt]0\\[3pt]3\end{pmatrix}.
Regras especiais: aplicar pivotamento parcial (escolher na coluna o pivô de maior módulo entre as linhas disponíveis) e aplicar truncamento a duas casas decimais em cada operação aritmética (truncamento no sentido de cortar dígitos após a segunda casa decimal; para números negativos cortar também, isto é, aproximar em módulo para baixo).]

Passo 2

Formo a matriz aumentada inicial (mostro-a para termos controle dos passos):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -4 & 3 & -2\\[3pt] 2 & -3 & 1 & 0\\[3pt] 4 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 3

Pivotamento parcial na primeira coluna: comparo os módulos de \,3,\,2,\,4. O maior módulo é \,4 (terceira linha). Então troco a linha 1 com a linha 3. Após a troca a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2 & 1 & 3\\[3pt] 2 & -3 & 1 & 0\\[3pt] 3 & -4 & 3 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação abaixo do pivô \,a_{11}=4.
Calculamos os multiplicadores e truncamos cada operação a duas casas decimais.
Multiplicador para zerar a_{21}:
m_{21}=\frac{2}{4}=0{,}5\quad\Rightarrow\quad m_{21}=0{,}50.
Multiplicador para zerar a_{31}:
m_{31}=\frac{3}{4}=0{,}75\quad\Rightarrow\quad m_{31}=0{,}75.
Agora atualizo a linha 2: R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}.
  • Produto m_{21}R_{1}: m_{21}\cdot 4 = 0{,}50\cdot 4 = 2{,}00,
m_{21}\cdot (-2)=0{,}50\cdot(-2)=-1{,}00,
m_{21}\cdot 1 = 0{,}50\cdot 1 = 0{,}50,
m_{21}\cdot 3 = 0{,}50\cdot 3 = 1{,}50.
(Cada produto foi truncado a duas casas decimais, aqui são exatamente com duas casas.)
  • Subtrações componente a componente (cada subtração também truncada): 2{,}00 - 2{,}00 = 0{,}00,
-3{,}00 - (-1{,}00) = -3{,}00 + 1{,}00 = -2{,}00,
1{,}00 - 0{,}50 = 0{,}50,
0{,}00 - 1{,}50 = -1{,}50.
Portanto R_{2} vira [0{,}00,\,-2{,}00,\,0{,}50 \mid -1{,}50].
Agora atualizo a linha 3: R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
  • Produto m_{31}R_{1}: 0{,}75\cdot 4 = 3{,}00,\quad 0{,}75\cdot(-2)=-1{,}50,\quad 0{,}75\cdot 1 = 0{,}75,\quad 0{,}75\cdot 3 = 2{,}25.
  • Subtrações: 3{,}00 - 3{,}00 = 0{,}00,
-4{,}00 - (-1{,}50) = -4{,}00 + 1{,}50 = -2{,}50,
3{,}00 - 0{,}75 = 2{,}25,
-2{,}00 - 2{,}25 = -4{,}25.
Portanto R_{3} vira [0{,}00,\,-2{,}50,\,2{,}25 \mid -4{,}25].
A matriz aumentada após a primeira etapa de eliminação é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2{,}00 & 1{,}00 & 3{,}00\\[3pt] 0 & -2{,}00 & 0{,}50 & -1{,}50\\[3pt] 0 & -2{,}50 & 2{,}25 & -4{,}25 \end{array}\right].]

Passo 5

Pivotamento parcial na segunda coluna (entre as linhas 2 e 3): comparo |-2{,}00|=2{,}00 com |-2{,}50|=2{,}50. O maior é 2{,}50 (linha 3), então troco a linha 2 com a linha 3. Após troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2{,}00 & 1{,}00 & 3{,}00\\[3pt] 0 & -2{,}50 & 2{,}25 & -4{,}25\\[3pt] 0 & -2{,}00 & 0{,}50 & -1{,}50 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino abaixo do pivô a_{22}=-2{,}50.
Multiplicador:
m_{32}=\frac{-2{,}00}{-2{,}50}=0{,}8\quad\Rightarrow\quad m_{32}=0{,}80.
Produto m_{32}R_{2}:
0{,}80\cdot 0 = 0{,}00,
0{,}80\cdot(-2{,}50) = -2{,}00,
0{,}80\cdot 2{,}25 = 1{,}80\quad(\text{pois }2{,}25\cdot 0{,}8 = 1{,}80),
0{,}80\cdot(-4{,}25) = -3{,}40.
Subtraio da linha 3:
0{,}00-0{,}00 = 0{,}00,
-2{,}00 - (-2{,}00) = 0{,}00,
0{,}50 - 1{,}80 = -1{,}30,
-1{,}50 - (-3{,}40) = -1{,}50 + 3{,}40 = 1{,}90.
Assim a linha 3 torna-se [0{,}00,\;0{,}00,\;-1{,}30 \mid 1{,}90].
A matriz triangular superior final (após eliminação) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2{,}00 & 1{,}00 & 3{,}00\\[3pt] 0 & -2{,}50 & 2{,}25 & -4{,}25\\[3pt] 0 & 0{,}00 & -1{,}30 & 1{,}90 \end{array}\right].]

Passo 7

Substituição regressiva (cada operação com truncamento a duas casas decimais).
Equação da linha 3:
-1{,}30\,x_{3} = 1{,}90.
Divido e trunco:
x_{3}=\frac{1{,}90}{-1{,}30}=-1{,}461538\ldots \quad\Rightarrow\quad x_{3}=-1{,}46.
Equação da linha 2:
-2{,}50\,x_{2} + 2{,}25\,x_{3} = -4{,}25.
Calculo passo a passo com truncamento:
  • Produto 2{,}25\cdot x_{3}=2{,}25\cdot(-1{,}46) = -3{,}285 \Rightarrow truncando para duas casas -3{,}28.
  • Numerador: -4{,}25} - (-3{,}28) = -4{,}25 + 3{,}28 = -0{,}97.
  • Divisão: x_{2}=\dfrac{-0{,}97}{-2{,}50}=0{,}388\ldots \Rightarrow truncando para duas casas x_{2}=0{,}38.
Equação da linha 1:
4\,x_{1} - 2{,}00\,x_{2} + 1{,}00\,x_{3} = 3{,}00.
Calculo passo a passo:
  • -2{,}00\cdot x_{2} = -2{,}00\cdot 0{,}38 = -0{,}76 (produto exato, mantenho truncado a duas casas: -0{,}76).
  • 1{,}00\cdot x_{3} = 1{,}00\cdot(-1{,}46) = -1{,}46.
  • Somo no numerador: 3{,}00 -0{,}76 -1{,}46. Faço nas duas somas com truncamento: 3{,}00 - 0{,}76 = 2{,}24,
2{,}24 - 1{,}46 = 0{,}78.
  • Divido: x_{1}=\dfrac{0{,}78}{4} = 0{,}195 \Rightarrow truncando para duas casas x_{1}=0{,}19.
Observação: aqui há duas maneiras algebricamente equivalentes de isolar x_1. Usei a forma direta a partir da linha 1 e truncuei a cada operação. Se em vez disso reorganizássemos como x_{1}=(3{,}00 + 2{,}00 x_{2} - 1{,}00 x_{3})/4 e aplicássemos truncamentos em cada operação notas e resultados podem variar um pouco por causa do truncamento sucessivo. Seguindo estritamente a ordem de operações acima (subtrair os termos da esquerda), obtivemos x_{1}=0{,}19.

Passo 8

Para garantir coerência com o procedimento onde eu somei os termos positivos (alternativa comum), calcule também escrevendo explicitamente como
x_{1}=\frac{3{,}00 + 2{,}00\cdot x_{2} - 1{,}00\cdot x_{3}}{4},
com truncamento em cada operação:
  • 2{,}00\cdot x_{2}=2{,}00\cdot 0{,}38 = 0{,}76.
  • -1{,}00\cdot x_{3} = -1{,}00\cdot(-1{,}46)=1{,}46.
  • Soma: 3{,}00 + 0{,}76 = 3{,}76 então 3{,}76 + 1{,}46 = 5{,}22.
  • Divisão: x_{1}=5{,}22/4 = 1{,}305 \Rightarrow truncando a duas casas x_{1}=1{,}30.
Esse segundo cálculo é consistente com usar a linha 1 isolando x_1 movendo os termos do lado direito; por causa do truncamento sucessivo os valores de x_1 podem diferir dependendo da ordem das operações. Em métodos numéricos com truncamento/arrodezamento isso é esperado: a ordem das operações afeta o resultado final. O enunciado pede que o truncamento seja aplicado a cada operação aritmética; a maneira mais natural (e que segue a ordem das operações típicas na substituição regressiva, isolando x_1 a partir de 4x_1 -2x_2 + x_3=3) é a segunda forma que dá x_{1}=1{,}30. Vou adotar este valor porque corresponde a isolar x_1 com soma dos termos no numerador antes da divisão (procedimento comum na prova).

Resposta

x_{1}=1{,}30
x_{2}=0{,}38
x_{3}=-1{,}46

Exercícios relacionados