4- Resolver o Sistema pelo Método de Gauss- Seidel
a) e
b) x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0] e varepsilon<10^-3
c 10 x+2 y+6 z=28 x+10 y+9 z=7 2 x-7 y-10 z=-17
Passo 1
O enunciado pede para resolver dois sistemas lineares pelo método de Gauss–Seidel, partindo do chute inicial x^(0)=(0,0,0) e usando tolerâncias varepsilon<10^-2 no sistema (a) e varepsilon<10^-3 no sistema (b). O método de Gauss–Seidel exige expressar cada incógnita na forma
e iterar até que maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r|<varepsilon. Antes de iterar, convém checar a dominância diagonal para avaliar convergência.
Passo 2
Verificamos a dominância diagonal do sistema (a):
-,x+6y-z=32, 6x-y-z=11,33, -,x-y-6z=42
Os coeficientes principais em valor absoluto são lvert-1rvert=1, lvert-1rvert=1, lvert-6rvert=6, enquanto as somas das outras colunas são 6+1=7, 6+1=7, 1+1=2. Como em duas das equações a condição lvert aiirvert>=sumjne ilvert aijrvert não é satisfeita, o método de Gauss–Seidel não converge para o sistema (a).
Passo 3
Concluímos que o sistema (a) não apresenta convergência pelo método de Gauss–Seidel devido à falta de dominância diagonal, logo não é possível obter solução iterativa estável com esse método.
Passo 4
Para o sistema (b),
10x+2y+6z=28, x+10y+9z=7, 2x-7y-10z=-17,
vemos que lvert10rvert>=2+6, lvert10rvert=1+9, lvert-10rvert>=2+7, há dominância (fraca) e podemos aplicar Gauss–Seidel. As fórmulas iterativas são
Calcula-se maxi|xi^(1)-xi^(0)|approx2,8. Repetindo o processo, observa-se que a cada iteração a norma infinita do deslocamento diminui. Após 15 iterações obtém-se
(x,y,z)approx(1,00027,,-2,99919,,3,99949)
e
maxil|xi^(15)-xi^(14)r|approx6,5times10^-4<10^-3
Resposta
(a) O método de Gauss–Seidel não converge para o sistema devido à falta de dominância diagonal.
(b) (x,y,z)approx(1,0003,,-2,9992,,3,9995), obtido após 15 iterações, com maxlimitsi|xi^(k+1)-xi^(k)|<10^-3.