Resolva as EDO’s a seguir.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(x) & =y^{\prime}(x)+6 y(x)+12 \\\ y(0) & =0 \\\ y^{\prime}(0) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a solução da EDO de segunda ordem com condições iniciais. As informações dadas são:
\begin{cases} y^{\prime\prime}(x) = y^{\prime}(x) + 6\,y(x) + 12,\\[4pt] y(0) = 0,\\[4pt] y^{\prime}(0) = 0. \end{cases}
Ou seja, temos uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes e término fonte igual a 12. As incógnitas a determinar são a função y(x) e suas constantes de integração que satisfazem as condições iniciais.]

Passo 2

Coloquemos a equação na forma padrão (todas as parcelas no lado esquerdo igualadas a zero), porque isso facilita o uso dos métodos habituais:
y^{\prime\prime}(x) - y^{\prime}(x) - 6\,y(x) = 12.
Escrevi assim para enxergar claramente a parte homogênea (esquerda sem o termo constante) e o termo não homogêneo (o 12 à direita).

Passo 3

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}(x) - y^{\prime}(x) - 6\,y(x) = 0.
Método: procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número a determinar. Substituindo, vemos que y' = r e^{r x} e y'' = r^{2} e^{r x}. Cancelando o fator e^{r x} (não nulo), obtemos o polinômio característico
r^{2} - r - 6 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
r^{2} - r - 6 = (r-3)(r+2)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-2. Como são raízes reais distintas, a solução geral da parte homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} e^{3x} + C_{2} e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação não homogênea. O termo não homogêneo é constante ( 12), então por coerência com o método dos coeficientes indeterminados devemos tentar uma solução particular constante:
y_{p}(x) = A,
onde A é uma constante desconhecida. As derivadas são y_{p}'(x)=0 e y_{p}''(x)=0. Substituindo na equação padrão:
0 - 0 - 6A = 12 \quad\Longrightarrow\quad -6A = 12.
Logo
A = -2.
Portanto uma solução particular é y_{p}(x) = -2.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1} e^{3x} + C_{2} e^{-2x} - 2.
Aqui C_{1} e C_{2} ainda são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Calculamos a derivada de y(x) para aplicar as condições iniciais:
y^{\prime}(x) = 3C_{1} e^{3x} - 2C_{2} e^{-2x}.
Avaliamo-las em x=0:
y(0) = C_{1} + C_{2} - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} + C_{2} = 2,
y^{\prime}(0) = 3C_{1} - 2C_{2} = 0.
Temos, portanto, o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 2,\\[4pt] 3C_{1} - 2C_{2} = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo o sistema: da primeira equação C_{2} = 2 - C_{1}. Substituindo na segunda:
3C_{1} - 2(2 - C_{1}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3C_{1} - 4 + 2C_{1} = 0,
5C_{1} - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = \frac{4}{5}.
Então
C_{2} = 2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5}.

Passo 8

Substituindo C_{1} e C_{2} encontrados na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = \frac{4}{5} e^{3x} + \frac{6}{5} e^{-2x} - 2.
Se estiver nervoso na prova: lembre que o passo-chave é montar o polinômio característico para a parte homogênea e usar coeficientes indeterminados para a parte particular (a escolha da forma tentativa segue o tipo do termo não homogêneo, aqui constante).

Resposta

y(x)=\frac{4}{5}e^{3x}+\frac{6}{5}e^{-2x}-2

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