Ou seja, temos uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes e término fonte igual a 12. As incógnitas a determinar são a função y(x) e suas constantes de integração que satisfazem as condições iniciais.]
Passo 2
Coloquemos a equação na forma padrão (todas as parcelas no lado esquerdo igualadas a zero), porque isso facilita o uso dos métodos habituais:
Método: procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número a determinar. Substituindo, vemos que y' = r e^{r x} e y'' = r^{2} e^{r x}. Cancelando o fator e^{r x} (não nulo), obtemos o polinômio característico
r^{2} - r - 6 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
r^{2} - r - 6 = (r-3)(r+2)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-2. Como são raízes reais distintas, a solução geral da parte homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} e^{3x} + C_{2} e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação não homogênea. O termo não homogêneo é constante (12), então por coerência com o método dos coeficientes indeterminados devemos tentar uma solução particular constante:
y_{p}(x) = A,
onde A é uma constante desconhecida. As derivadas são y_{p}'(x)=0 e y_{p}''(x)=0. Substituindo na equação padrão:
Se estiver nervoso na prova: lembre que o passo-chave é montar o polinômio característico para a parte homogênea e usar coeficientes indeterminados para a parte particular (a escolha da forma tentativa segue o tipo do termo não homogêneo, aqui constante).