Resolva as EDO’s a seguir.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime}(x) & =\left(\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}\right) y(x) \\\ y(0) & =2025\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\begin{cases} y'(x)=\displaystyle\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}\,y(x)\\[6pt] y(0)=2025 \end{cases}
O problema pede encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes que temos são: a expressão do coeficiente multiplicando y(x), que é \displaystyle\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}, e o valor de y em x=0, que é 2025.]

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e método (explicação didática):
A equação está na forma
y'(x)=p(x)\,y(x),
onde p(x)=\displaystyle\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}. Quando temos uma EDO assim, ela é separável e também é uma EDO linear homogênea de primeira ordem; o método mais direto é separar as variáveis escrevendo \dfrac{dy}{y}=p(x)\,dx e integrar ambos os lados. Vou seguir esse método porque é simples e dá a solução geral diretamente. Vou explicar passo a passo como fazer essa separação e integração.

Passo 3

Escrevendo a separação das variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}\,dx.
Agora precisamos integrar o lado direito. Antes de integrar, simplificamos a função racional \dfrac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}} fazendo uma divisão polinomial (ou observando que podemos separar em termo polinomial mais termo racional).
Fazendo a divisão de x^{3}+x+1 por x^{2}+1:
  • O quociente inicial é x, pois x\cdot(x^{2}+1)=x^{3}+x.
  • Subtraindo desse produto obtemos resto 1.
    Portanto
\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}=x+\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. A integral a resolver é
\int \frac{dy}{y}=\int\left(x+\frac{1}{1+x^{2}}\right)dx.
Explicando as integrais usadas:
  • \displaystyle\int \frac{dy}{y}=\ln|y|+C. Aqui \ln é o logaritmo natural e o valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/y é \ln|y|.
  • \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
  • \displaystyle\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan x + C, porque a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}.
Somando as primitivas do lado direito obtemos
\ln|y|=\frac{x^{2}}{2}+\arctan x + C,
onde C é a constante de integração (única constante que aparece ao integrar ambos os lados).

Passo 5

Isolando y a partir de \ln|y|:
|y|=e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x + C}=e^{C}\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}.
Definimos C_{1}=e^{C}, que é uma constante positiva. Assim
|y|=C_{1}\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}.
Como a condição inicial dá um valor positivo para y(0) (veja próximo passo), podemos tomar y sem valor absoluto e escrever a solução geral particular na forma
y(x)=C_{1}\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x},
onde agora C_{1} pode ser qualquer número real não nulo; a escolha do sinal será determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=2025 para determinar C_{1}:
Calculamos o expoente em x=0:
\frac{0^{2}}{2}+\arctan 0=0+0=0.
Portanto
y(0)=C_{1}\,e^{0}=C_{1}.
Como y(0)=2025, obtemos C_{1}=2025. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=2025\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a solução encontrada para conferir que satisfaz a EDO.
Se y(x)=2025\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}, então
y'(x)=2025\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}\left(\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\arctan x\right)\right) =2025\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}\left(x+\frac{1}{1+x^{2}}\right).
Como y(x)=2025\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}, podemos escrever
y'(x)=\left(x+\frac{1}{1+x^{2}}\right)y(x)=\frac{1+x+x^{3}}{1+x^{2}}\,y(x),
o que coincide com a equação dada. A verificação confirma que a solução está correta.

Resposta

y(x)=2025\,e^{\frac{x^{2}}{2}+\arctan x}

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