4 Encontrar o ponto de mínimo da função f(x)=\frac{x^{2}}{2}+x \cdot(\ln x-1) utilizando o método da BISSEÇÃO. Partir do intervalo inicial [0.4 ; 0.6] e adotar, como critério de parada, uma diferença entre aproximações consecutivas menor que 1 \times 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o ponto de mínimo da função
f(x)=\frac{x^{2}}{2}+x\bigl(\ln x-1\bigr)
no intervalo [0,4;0,6] usando o método da bisseção aplicado à equação f'(x)=0. O critério de parada é
|x_{n+1}-x_{n}|<10^{-2}.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+x(\ln x-1)\Bigr) =x+\ln x.
Definindo g(x)=f'(x)=x+\ln x, verificamos os sinais nas extremidades:
g(0{,}4)=0{,}4+\ln(0{,}4)\approx0{,}4-0{,}9163=-0{,}5163<0,
g(0{,}6)=0{,}6+\ln(0{,}6)\approx0{,}6-0{,}5108=0{,}0892>0.
Como g(0{,}4)\cdot g(0{,}6)<0, há raiz de g em [0{,}4;0{,}6].

Passo 3

Iteração 1:
x_{1}=\frac{0{,}4+0{,}6}{2}=0{,}5,
g(0{,}5)=0{,}5+\ln(0{,}5)\approx0{,}5-0{,}6931=-0{,}1931<0
Logo a raiz está em [0{,}5;0{,}6].

Passo 4

Iteração 2:
x_{2}=\frac{0{,}5+0{,}6}{2}=0{,}55,
g(0{,}55)=0{,}55+\ln(0{,}55)\approx0{,}55-0{,}5978=-0{,}0478<0
A raiz fica em [0{,}55;0{,}6].

Passo 5

Iteração 3:
x_{3}=\frac{0{,}55+0{,}6}{2}=0{,}575,
g(0{,}575)=0{,}575+\ln(0{,}575)\approx0{,}575-0{,}5534=0{,}0216>0
Agora o intervalo é [0{,}55;0{,}575].

Passo 6

Iteração 4:
x_{4}=\frac{0{,}55+0{,}575}{2}=0{,}5625,
g(0{,}5625)=0{,}5625+\ln(0{,}5625)\approx0{,}5625-0{,}5756=-0{,}0131<0
O novo intervalo é [0{,}5625;0{,}575].

Passo 7

Iteração 5:
x_{5}=\frac{0{,}5625+0{,}575}{2}=0{,}56875,
g(0{,}56875)=0{,}56875+\ln(0{,}56875)\approx0{,}56875-0{,}5641=0{,}0047>0
Verificamos a diferença
|x_{5}-x_{4}|=|0{,}56875-0{,}5625|=0{,}00625<10^{-2},
o que atende ao critério de parada.

Resposta

O ponto de mínimo aproximado é
x^{*}\approx0{,}56875.

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