6 A concentração de bactérias em um lago é dada pela seguinte expressão: c=70 \cdot e^{-1.5 \cdot t}+25 \cdot e^{-0.075 \cdot t} c_{0} é a concentração no instante inicial ( t=0 ). Determine o tempo no qual a concentração c é igual a 0.7 \cdot c_{0}.
Efetue três iterações com o método de Newton-Raphson e adote chute inicial t_{0}=0.2 \mathrm{~s}.
Determine o erro relativo a cada iteração.
Passo 1
O enunciado nos dá a concentração de bactérias em função do tempo
c(t)=70\,e^{-1.5\,t}+25\,e^{-0.075\,t}
e define c_{0}=c(0). Queremos o instante t em que
c(t)=0.7\,c_{0}.
Como c_{0}=70+25=95, buscamos a raiz de
f(t)=70\,e^{-1.5\,t}+25\,e^{-0.075\,t}-0.7\cdot95
usando o método de Newton–Raphson, que iterativamente faz
t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}.
Também vamos calcular o erro relativo aproximado em cada iteração via