6 A concentração de bactérias em um lago é dada pela seguinte expressão:
c=70 \cdot e^{-1.5 \cdot t}+25 \cdot e^{-0.075 \cdot t}
c_{0} é a concentração no instante inicial ( t=0 ). Determine o tempo no qual a concentração c é igual a 0.7 \cdot c_{0}.
Efetue três iterações com o método de Newton-Raphson e adote chute inicial t_{0}=0.2 \mathrm{~s}.
Determine o erro relativo a cada iteração.

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração de bactérias em função do tempo
c(t)=70\,e^{-1.5\,t}+25\,e^{-0.075\,t}
e define c_{0}=c(0). Queremos o instante t em que
c(t)=0.7\,c_{0}.
Como c_{0}=70+25=95, buscamos a raiz de
f(t)=70\,e^{-1.5\,t}+25\,e^{-0.075\,t}-0.7\cdot95
usando o método de Newton–Raphson, que iterativamente faz
t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}.
Também vamos calcular o erro relativo aproximado em cada iteração via
E_{\mathrm{rel}}=\left|\frac{t_{n+1}-t_{n}}{t_{n+1}}\right|.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
f(t)=70\,e^{-1.5\,t}+25\,e^{-0.075\,t}-66.5
e derivada
f'(t)=-1.5\cdot70\,e^{-1.5\,t}-0.075\cdot25\,e^{-0.075\,t} =-105\,e^{-1.5\,t}-1.875\,e^{-0.075\,t}.
O chute inicial é t_{0}=0.2.

Passo 3

Avaliação em t_{0}=0.2:
e^{-1.5\cdot0.2}=e^{-0.3}\approx0.740818,\quad e^{-0.075\cdot0.2}=e^{-0.015}\approx0.985111
f(0.2)=70\cdot0.740818+25\cdot0.985111-66.5\approx9.9851
f'(0.2)=-105\cdot0.740818-1.875\cdot0.985111\approx-79.639
t_{1}=0.2-\frac{9.9851}{-79.639}\approx0.32534
Erro relativo
E_{\mathrm{rel},1}=\left|\frac{0.32534-0.2}{0.32534}\right|\approx0.385\;(38{,}5\%)

Passo 4

Avaliação em t_{1}=0.32534:
e^{-1.5\cdot0.32534}\approx0.614547,\quad e^{-0.075\cdot0.32534}\approx0.975912
f(0.32534)=70\cdot0.614547+25\cdot0.975912-66.5\approx0.9161
f'(0.32534)=-105\cdot0.614547-1.875\cdot0.975912\approx-66.3595
t_{2}=0.32534-\frac{0.9161}{-66.3595}\approx0.33914
Erro relativo
E_{\mathrm{rel},2}=\left|\frac{0.33914-0.32534}{0.33914}\right|\approx0.0407\;(4{,}07\%)

Passo 5

Avaliação em t_{2}=0.33914:
e^{-1.5\cdot0.33914}\approx0.600215,\quad e^{-0.075\cdot0.33914}\approx0.974895
f(0.33914)=70\cdot0.600215+25\cdot0.974895-66.5\approx-0.1126
f'(0.33914)=-105\cdot0.600215-1.875\cdot0.974895\approx-64.8505
t_{3}=0.33914-\frac{-0.1126}{-64.8505}\approx0.33740
Erro relativo
E_{\mathrm{rel},3}=\left|\frac{0.33740-0.33914}{0.33740}\right|\approx0.00514\;(0{,}514\%)

Resposta

O valor aproximado de t após três iterações é
t_{3}\approx0.33740\\ \text{s}
com erros relativos de aproximadamente
E_{\mathrm{rel},1}=38{,}5\%,\quad E_{\mathrm{rel},2}=4{,}07\%,\quad E_{\mathrm{rel},3}=0{,}514\%.

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