8 No escoamento de um fluido em um tubo, a fricção é quantificada através de um fator adimensional f. O fator f, por sua vez, depende do número de Reynolds (Re) que caracteriza o tipo de escoamento. A seguinte equação é válida:
\frac{1}{\sqrt{f}}=4 \cdot \log (\operatorname{Re} \cdot \sqrt{f})-0.4
Deseja-se determinar o fator de fricção f para R e=2000. Efetue quatro iterações utilizando o método da Bisseção. Adote como intervalo inicial [0.01;0.02].
Determine o erro relativo a cada iteração.

Passo 1

O objetivo é resolver por Bisseção a equação que determina o fator de fricção f em função do número de Reynolds \mathrm{Re}=2000:
\frac{1}{\sqrt{f}} \;=\;4\,\log_{10}\bigl(\mathrm{Re}\,\sqrt{f}\bigr)\;-\;0{,}4
O método da Bisseção vai aproximar a raiz de g(f)=0 no intervalo inicial [0{,}01;\,0{,}02].

Passo 2

Definimos
g(f)=\frac{1}{\sqrt{f}} \;-\;4\,\log_{10}\bigl(2000\,\sqrt{f}\bigr)\;+\;0{,}4
Calculamos os sinais nos extremos: g(0{,}01)>0 e g(0{,}02)<0, garantindo mudança de sinal e validando o intervalo.

Passo 3

Iteração 1:
c_1=\frac{0{,}01+0{,}02}{2}=0{,}015,\quad g(c_1)\approx -0{,}9917<0
Como g(0{,}01)>0 e g(c_1)<0, o novo intervalo é [0{,}01;\,0{,}015].
O erro absoluto máximo é \frac{0{,}015-0{,}01}{2}=0{,}0025 e o erro relativo aproximado é
\frac{0{,}0025}{0{,}015}\approx0{,}1667\quad(\,16{,}67\%\!).

Passo 4

Iteração 2:
c_2=\frac{0{,}01+0{,}015}{2}=0{,}0125,\quad g(c_2)\approx -0{,}0537<0
Troca-se b\leftarrow c_2, ficando o intervalo [0{,}01;\,0{,}0125].
Erro absoluto \frac{0{,}0125-0{,}01}{2}=0{,}00125, erro relativo
\frac{0{,}00125}{0{,}0125}=0{,}10\quad(\,10\%\!).

Passo 5

Iteração 3:
c_3=\frac{0{,}01+0{,}0125}{2}=0{,}01125,\quad g(c_3)\approx -0{,}0171<0
Intervalo passa a ser [0{,}01;\,0{,}01125].
Erro absoluto \frac{0{,}01125-0{,}01}{2}=0{,}000625, erro relativo
\frac{0{,}000625}{0{,}01125}\approx0{,}0556\quad(\,5{,}56\%\!).

Passo 6

Iteração 4:
c_4=\frac{0{,}01+0{,}01125}{2}=0{,}010625,\quad g(c_4)\approx +0{,}8365>0
Agora a\leftarrow c_4 e o intervalo final é [0{,}010625;\,0{,}01125].
Erro absoluto \frac{0{,}01125-0{,}010625}{2}=0{,}0003125, erro relativo
\frac{0{,}0003125}{0{,}010625}\approx0{,}0294\quad(\,2{,}94\%\!).

Resposta

Iteração 1: f_1=0{,}015, erro relativo \approx 16,67%
Iteração 2: f_2=0{,}0125, erro relativo =10,00%
Iteração 3: f_3=0{,}01125, erro relativo \approx 5,56%
Iteração 4: f_4=0{,}010625, erro relativo \approx 2,94%

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