Encontrar a primitiva F(x) para a função f(x) tal que:

Passo 1

O exercício pede a antiderivada de f(x)=1(4x^2-4)^3/2. Isso cai em integrais de funções do tipo 1(ax^2+b)^3/2, onde vamos usar fatoração de constantes e um padrão de derivada que conhecemos.

Passo 2

Vamos fatorar 4 de dentro da potência para simplificar a integral. Observa que
4x^2-4=4(x^2-1)
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(4x^2-4)^3/2 = l(4(x^2-1)r)^3/2 = 4^3/2,(x^2-1)^3/2 = 8,(x^2-1)^3/2

Passo 3

Assim a integral fica
integral 1(4x^2-4)^3/2,dx = integral 18,(x^2-1)^3/2,dx = 18integral dx(x^2-1)^3/2

Passo 4

Agora reconhecemos o padrão de derivada:
ddxl(xraizx^2-1r) = (raizx^2-1) - xcdotxraizx^2-1x^2-1 = -1(x^2-1)^3/2

Passo 5

Isso implica que
integral dx(x^2-1)^3/2 = -xraizx^2-1 + C

Passo 6

Voltando ao fator 1/8, concluímos que
F(x)=18l(-xraizx^2-1r) + C = -x8raizx^2-1 + C

Resposta

F(x)= -\frac{x}{8\sqrt{x^2-1}} + C

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