Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral cos (2 x) cos (x) d x=sin (3 x)6+sin (x)2+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cos(2x)cos(x),dx. O conteúdo da matéria envolve integrais de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade que converte produto de cossenos em soma de cossenos.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de produto-para-soma: cos Acos B = tfrac12[cos(A+B)+cos(A-B)]. Com A=2x e B=x obtemos:
cos(2x)cos(x) = tfrac12[cos(3x)+cos(x)]

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral cos(2x)cos(x),dx = integral tfrac12cos(3x),dx + integral tfrac12cos(x),dx
Como integral cos(kx),dx = tfrac1ksin(kx), segue que
integral tfrac12cos(3x),dx = tfrac12 cdot tfrac13 sin(3x) = tfracsin(3x)6
e
integral tfrac12cos(x),dx = tfrac12sin(x)

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, concluímos que
integral cos(2x)cos(x),dx = sin(3x)6 + sin(x)2 + C

Resposta

sin(3x)6 + sin(x)2 + C

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