Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, que é uma integral de função racional. Para resolver isso vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais, já que o denominador é um polinômio que se fatoriza em termos lineares.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:\
Passo 3
Em seguida, expressamos a função integranda como soma de frações parciais: \
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
e obtemos:
Expandindo cada termo:
Comparando com
:
A + B + C = 5,
B - C = 0,
-A = -3.
A + B + C = 5,
B - C = 0,
-A = -3.
Passo 5
Da terceira equação vem
. Da segunda,
. Substituindo em
temos
, logo
e
.
Passo 6
Então a integral vira:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Por fim, podemos combinar os logaritmos:
Assim obtemos