Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral 5 x^2-3x^3-x d x=ln |x^3|+ln |x^2-1|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 5x^2-3x^3-x,dx, que é uma integral de função racional. Para resolver isso vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais, já que o denominador é um polinômio que se fatoriza em termos lineares.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:\
x^3-x = x,(x-1),(x+1)

Passo 3

Em seguida, expressamos a função integranda como soma de frações parciais: \
5x^2-3x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-1)(x+1) e obtemos:
5x^2-3 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)
Expandindo cada termo:
A(x^2-1) + B(x^2+x) + C(x^2-x) = (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A
Comparando com 5x^2 + 0,x -3:
A + B + C = 5,
B - C = 0,
-A = -3.

Passo 5

Da terceira equação vem A=3. Da segunda, B=C. Substituindo em A+B+C=5 temos 3+2B=5, logo B=1 e C=1.

Passo 6

Então a integral vira:
integral 5x^2-3x^3-x,dx = integral l(3x + 1x-1 + 1x+1r) ,dx
Integrando termo a termo:
3integral dxx + integral dxx-1 + integral dxx+1 = 3ln|x| + ln|x-1| + ln|x+1| + C

Passo 7

Por fim, podemos combinar os logaritmos:
3ln|x| = ln|x^3|e ln|x-1|+ln|x+1| = ln|x^2-1|
Assim obtemos
ln|x^3| + ln|x^2-1| + C, que coincide com a igualdade pedida.

Resposta

ln|x^3| + ln|x^2-1| + C

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