Encontrar a série de Fourier para a função
no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(t) = e^{t} $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $. Isso significa que vamos decompor essa função em uma soma de senos e cossenos que se repetem a cada $ 2\pi $. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função $ f(t) $ periódica com período $ 2\pi $ é dada por:
Aqui, $ a_0 $ é o coeficiente constante, e $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes dos termos de cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, usamos as seguintes fórmulas:
Vamos calcular cada um deles passo a passo.
Passo 4
Vamos começar com $ a_0 $:
Integrando $ e^{t} $ em relação a $ t $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ a_n $:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que integrais do tipo $ e^{at} \cos(bt) $ têm solução conhecida:
Aplicando isso, temos:
Após calcular os limites, obtemos:
Como $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, simplificamos para:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ b_n $:
Usando uma técnica similar à do $ a_n $, sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Após calcular os limites, obtemos:
Como $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, simplificamos para:
Passo 7
Juntando tudo, a série de Fourier para $ f(t) = e^{t} $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $ fica:
Resposta
A série de Fourier da função $ f(t) = e^{t} $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $ é: