Encontrar a série de Fourier para a função f(t)=e^t no intervalo (-pi, pi)
f(t+2 pi)=f(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(t) = e^{t} $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $. Isso significa que vamos decompor essa função em uma soma de senos e cossenos que se repetem a cada $ 2\pi $. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função $ f(t) $ periódica com período $ 2\pi $ é dada por:
f(t)
Aqui, $ a_0 $ é o coeficiente constante, e $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes dos termos de cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, usamos as seguintes fórmulas:
a0 = 12pi integral-pi^pi f(t) , dt
an = 1pi integral-pi^pi f(t) cos(nt) , dt
bn = 1pi integral-pi^pi f(t) sin(nt) , dt
Vamos calcular cada um deles passo a passo.

Passo 4

Vamos começar com $ a_0 $:
a0
Integrando $ e^{t} $ em relação a $ t $:
a0 = 12pi integral-pi^pi e^t , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular $ a_n $:
an
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que integrais do tipo $ e^{at} \cos(bt) $ têm solução conhecida:
an = 1pi integral-pi^pi e^t cos(nt) , dt
Aplicando isso, temos:
e^at cos(bt)
Após calcular os limites, obtemos:
integral e^at cos(bt) , dt = e^ata^2 + b^2 (a cos(bt) + b sin(bt)) + C
Como $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, simplificamos para:
an = 1pi [ e^t1 + n^2 ( cos(nt) + n sin(nt) ) ]-pi^pi

Passo 6

Agora, vamos calcular $ b_n $:
bn
Usando uma técnica similar à do $ a_n $, sabemos que:
bn = 1pi integral-pi^pi e^t sin(nt) , dt
Aplicando isso, temos:
an
Após calcular os limites, obtemos:
integral e^at sin(bt) , dt = e^ata^2 + b^2 (a sin(bt) - b cos(bt)) + C
Como $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, simplificamos para:
bn = 1pi [ e^t1 + n^2 ( sin(nt) - n cos(nt) ) ]-pi^pi

Passo 7

Juntando tudo, a série de Fourier para $ f(t) = e^{t} $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $ fica:
f(t) = e^t

Resposta

A série de Fourier da função $ f(t) = e^{t} $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $ é:
f(t) = e^t

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