Encontrar a sério de Fourier para a funçáo f(t) definida por
f(t)=rr -1 & -T2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma onda quadrada de período T que vale -1 em (-T/2,0) e +1 em (0,T/2). Vamos usar a forma geral da série de Fourier e calcular os coeficientes.

Passo 2

A série de Fourier de período T tem a forma
f(t)=a02+sumn=1^inftyancosl(nomega0tr)+sumn=1^inftybnsinl(nomega0tr),
com omega0=2pi/T. Precisamos achar a0, an e bn.

Passo 3

Como a função é ímpar ( f(-t)=-f(t)), o coeficiente médio é zero e todos os an também são zero. Ou seja, a0=0 e an=0 para todo n.

Passo 4

Para bn usamos
bn=2Tintegral-T/2^T/2f(t)sin(nomega0t),dt
Dividindo o intervalo e usando f(t)=1 em (0,T/2) e f(t)=-1 em (-T/2,0), chega-se a
bn=4Tintegral0^T/2sin(nomega0t),dt =4Tcdot1-cos(nomega0T/2)nomega0

Passo 5

Como omega0T/2=pi n, temos cos(npi)=(-1)^n, então
bn=4Tcdot1-(-1)^nn(2pi/T)=2l(1-(-1)^nr)npi
Isso dá bn=0 para n par e bn=4/(npi) para n ímpar.

Passo 6

Substituindo só os bn ímpares na série, obtemos a expansão final da onda quadrada:
f(t)=sumk=1^infty4(2k-1)pisinl((2k-1)omega0tr)

Resposta

f(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin\Bigl((2k-1)\frac{2\pi}{T}t\Bigr)

Exercícios relacionados