Encontrar a sério de Fourier para a funçáo
definida por
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de uma onda quadrada de período T que vale -1 em (-T/2,0) e +1 em (0,T/2). Vamos usar a forma geral da série de Fourier e calcular os coeficientes.
Passo 2
A série de Fourier de período T tem a forma
com
. Precisamos achar
,
e
.
Passo 3
Como a função é ímpar (
), o coeficiente médio é zero e todos os
também são zero. Ou seja,
e
para todo
.
Passo 4
Para
usamos
Dividindo o intervalo e usando
em
e
em
, chega-se a
Passo 5
Como
, temos
, então
Isso dá
para
par e
para
ímpar.
Passo 6
Substituindo só os
ímpares na série, obtemos a expansão final da onda quadrada:
Resposta
f(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin\Bigl((2k-1)\frac{2\pi}{T}t\Bigr)