Encontrar a solucão do P.V.C abaixo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e duas condições:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}}. \end{array}\right.
O que precisamos encontrar é a função y(x) (solução geral ajustada pelos constantes) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições dadas.]

Passo 2

Para resolver uma equação linear homogênea de coeficientes constantes como
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0,
procura-se a solução da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
r^{2}-2r+5=0.
Vamos resolver essa equação quadrática. A fórmula de Bhaskara dá
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm4i}{2}=1\pm 2i.
Então as raízes são complexas conjugadas r=1\pm 2i.
Explicação curta do que isso implica: quando as raízes da característica são \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), a solução geral real da EDO é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições. Aqui \alpha=1 e \beta=2.

Passo 3

Escrevendo a solução geral para o nosso caso:
y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big).
Agora vamos usar as condições para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 4

Aplicar a condição y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão da solução:
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=1\cdot\big(C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot0\big)=C_{1}.
Como y(0)=1, segue que
C_{1}=1.

Passo 5

Aplicar a condição y\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}}. Substituindo x=\dfrac{\pi}{4}:
y\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}}\Big(C_{1}\cos\big(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\big)+C_{2}\sin\big(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\big)\Big).
Calcule os argumentos das funções trigonométricas:
2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2},\quad \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0,\quad \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
Então
y\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}}\big(C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1\big)=e^{\frac{\pi}{4}}C_{2}.
A condição diz que isso vale e^{\frac{\pi}{4}}, logo
e^{\frac{\pi}{4}}C_{2}=e^{\frac{\pi}{4}}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.

Passo 6

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=1 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz ambas as condições:
y(x)=e^{x}\big(\cos(2x)+\sin(2x)\big).
Passo extra (verificação rápida): substituindo esta y(x) na equação diferencial resulta em zero (pode-se calcular y' e y'' e verificar), confirmando que a solução está correta.

Passo 7

Resumo prático para a prova: sempre que aparecer uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, forme a equação característica, ache as raízes; se forem complexas \alpha\pm i\beta, escreva a solução como e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x) e use as condições para achar C_{1},C_{2}. Aqui foi rápido porque uma das condições caiu em x=0 (dando C_{1}) e a outra em x=\pi/4 fez as trigonométricas simplificarem, dando C_{2}.

Resposta

y(x)=e^{x}\big(\cos(2x)+\sin(2x)\big)

Exercícios relacionados