Dada a equaçāo diferencial
(a)
Determine a regiāo (ou regiòes) onde a solução existe e é ûnica.
(b)
Encontre a soluçio IMPLICITA do problema.
(c) [1.5] Encontre as soluções de equilibro e faça um esboco do campo de direções.
(d)
Conclúa que as soluções formam uma família de círculos e determine o eentro de todos eles.
(e)
Suponha que a condiçio inicial seja
. O que podemos dizer da soluçīo do P.V.I com essas condições?
(b)
(c) [1.5] Encontre as soluções de equilibro e faça um esboco do campo de direções.
(d)
(e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial dada é
- Reescrevendo, a equação pode ser colocada como
O enunciado pede:
(a) Determinar a(s) região(ões) onde a solução existe e é única.
(b) Encontrar a solução implícita do problema (família das soluções).
(c) Encontrar as soluções de equilíbrio e esboçar/dar propriedades do campo de direções.
(d) Mostrar que as soluções formam uma família de círculos e determinar o centro comum.
(e) Dada a condição inicial , dizer o que ocorre com o PVI.
(a) Determinar a(s) região(ões) onde a solução existe e é única.
(b) Encontrar a solução implícita do problema (família das soluções).
(c) Encontrar as soluções de equilíbrio e esboçar/dar propriedades do campo de direções.
(d) Mostrar que as soluções formam uma família de círculos e determinar o centro comum.
(e) Dada a condição inicial
Passo 2
Existência e unicidade: vamos escrever a equação na forma padrão
e verificar onde
e
são contínuas (condição de existência/únicidade de Picard–Lindelöf).
- Temos
- Observe que
está bem definida e é contínua sempre que o denominador for diferente de zero, isto é, para . Para usar o teorema de existência e unicidade convém também checar :
que também é contínua sempre que
.
Conclusão prática: para qualquer ponto inicial
com
existe uma solução única definida numa vizinhança de
. Portanto as regiões de existência e unicidade são quaisquer regiões abertas do plano que não intersectem a linha
— por exemplo a faixa
e a faixa
(cada uma pode ser tomada como região onde vale existência e unicidade).
Observação sobre a linha
: se tentarmos um ponto com
a equação original
reduz-se a
. Isso só é verdadeiro no ponto
. Assim, em geral, pontos com
não satisfazem a ED; o caso
é singular (leva a
na forma indeterminada
versus
). Para um PVI com condição inicial em um ponto com
(e
) a equação é inconsistente — não há solução passando por tal ponto (veremos em (e)).
Passo 3
Resolver a equação implicitamente (separação de variáveis).
- Partimos de
Isto é uma equação separável: podemos colocar termos em
num lado e termos em
no outro. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
- Integramos os dois lados. Vou explicar a integral de cada lado:
- No lado esquerdo integra-se
em relação a . Uma forma rápida: . - No lado direito integra-se
em : .
- No lado esquerdo integra-se
- Igualando as constantes de integração (colocando tudo em um lado com uma constante geral
) obtemos
- Podemos reorganizar para ficar mais simétrico:
Esta é a solução implícita geral da ED (família de curvas parametrizada por
).
Passo 4
Interpretação geométrica: família de círculos e centro comum.
- Vamos completar o quadrado no termo em
para ver que tipo de curva é:
- Substituindo em
dá
- Assim cada solução implícita é uma circunferência de centro
e raio
(quando
; o caso
seria o ponto degenerado centro da família).
Conclusão: as soluções formam uma família de círculos todos com o mesmo centro
.
Passo 5
Soluções de equilíbrio e campo de direções.
- Definição prática (lembrando devagar): por “solução de equilíbrio” costuma-se entender uma solução constante
(então para todo ). Colocando na equação original obtemos
que exigiria
para todo
— impossível. Logo NÃO existem soluções constantes
definidas para todos os
. Em outras palavras, não há soluções de equilíbrio no sentido usual (constantes).
- Campo de direções (descrição qualitativa): a inclinação em cada ponto
é
Algumas observações importantes para esboçar o campo de direções:
- Onde
, i.e. em , temos : as tangentes são horizontais ao longo da reta vertical (ou seja, os vetores do campo são horizontais ali). - Onde
, i.e. na reta , o denominador anula-se e a expressão para tende a : as tangentes são verticalizantes (tendência a retas verticais) ao aproximar-se da linha — o campo de direções tem setas quase verticais aí. Note que a linha é singular para a ED, não podemos pegar pontos exatamente nessa linha (exceto o ponto especial que é um singular mais forte). - Sinal do coeficiente: para
temos . Então se também (denom >0) segue (tendência decrescente); se então denom <0 e (tendência crescente). Para ocorre o oposto (sinais trocados). - Esboço mental: círculos concêntricos centrados em
. Nas curvas soluções, as tangentes correspondem exatamente às direções dadas por acima; na reta vertical são horizontais; perto da reta horizontal as tangentes ficam quase verticais.
Passo 6
Comentário sobre o ponto
e casos singulares.
- No ponto
tanto o numerador quanto o denominador anulam-se, dando uma forma indeterminada . Esse ponto é o centro comum das circunferências e não pertence à maioria das soluções (só pertence como caso degenerado quando o raio é zero). Não é uma solução regular da ED definida numa vizinhança de (não há uma função que seja constante 1 e satisfeita a ED para todos os ). - Portanto o ponto
é singular e as soluções são arcos de círculos não passando pela linha (exceto possivelmente tangencialmente no ponto singular na configuração degenerada).
Passo 7
Condição inicial específica (parte (e)).
- A condição dada é
. Isso significa que o ponto inicial é , que se encontra na linha . - Mas na ED escrita como
o denominador é zero em , tornando a expressão inválida. Se tentarmos usar a forma original:
no ponto
obtemos
, e
, logo a equação se reduziria a
, i.e.
, uma contradição.
- Conclusão: não existe solução (nem local) da ED que passe por
. O PVI com condição não tem solução.
Resposta
(a) A solução existe e é única em quaisquer regiões abertas que não cortem a reta
; por exemplo nas faixas
e
.
(b) A solução implícita geral é (constante
).
(c) Não há soluções de equilíbrio (não existem soluções constantes ). O campo de direções tem tangentes horizontais em
e tende a tangentes verticais ao aproximar-se de
; para
e
a inclinação é negativa, etc.
(d) As soluções formam uma família de círculos centrados em (raio
).
(e) Não existe solução do PVI com (a condição inicial é incompatível com a ED).
(b) A solução implícita geral é
(c) Não há soluções de equilíbrio (não existem soluções constantes
(d) As soluções formam uma família de círculos centrados em
(e) Não existe solução do PVI com