Portanto a forma é 0/0, que é uma indeterminação. O enunciado pede para usar as regras de L’Hospital, então vou aplicá-las (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).
Passo 3
Recordando a regra de L’Hospital (de forma prática): se temos \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} com forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
desde que o limite à direita exista ou seja \pm\infty.
Aqui:
\sqrt[3]{1+2x}=(1+2x)^{1/3} é diferenciável para todo x.
\sqrt{2+x}=(2+x)^{1/2} exige 2+x\ge 0, ou seja x\ge-2; como x\to-1 estamos em uma vizinhança onde a raiz quadrada é bem definida e diferenciável.
Logo as hipóteses estão satisfeitas e posso aplicar L’Hospital.
Passo 4
Vou calcular a derivada do numerador f(x)=\sqrt[3]{1+2x}+1=(1+2x)^{1/3}+1.
Uso a regra da cadeia: se h(x)=(u(x))^{1/3} então h'(x)=\tfrac{1}{3}u(x)^{-2/3}\,u'(x).
Aqui u(x)=1+2x e u'(x)=2. Assim
Agora a derivada do denominador g(x)=x+\sqrt{2+x}=x+(2+x)^{1/2}.
A derivada de x é 1. Para a raiz quadrada uso a regra da cadeia: se r(x)=(2+x)^{1/2} então r'(x)=\tfrac{1}{2}(2+x)^{-1/2}\cdot 1=\dfrac{1}{2\sqrt{2+x}}.
Portanto
g'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{2+x}}.
Passo 6
Aplicando L’Hospital, o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas:
Para interpretar (-1)^{-2/3} note que (-1)^{1/3}=-1 (a raiz cúbica de -1 é -1), então (-1)^{2/3}=((\\ -1)^{1/3})^2=(-1)^2=1, e portanto (-1)^{-2/3}=1. Assim o numerador avaliado é \dfrac{2}{3}.