\mathbf{3}^{\circ} QUESTÃO: (valor: 2,0 \mathrm{pts} ) Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital:
(b) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt[3]{1+2 x}+1}{x+\sqrt{2+x}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{x+\sqrt{2+x}}.
Informações dadas e pontos importantes:
  • A expressão do numerador é \sqrt[3]{1+2x}+1.
  • A expressão do denominador é x+\sqrt{2+x}.
  • O ponto de interesse é x\to-1.
  • Não há figura nem tabelas; todas as informações necessárias estão no próprio enunciado.

Passo 2

Primeiro vou verificar o valor das duas expressões ao substituir x=-1 (teste de substituição direta):
\sqrt[3]{1+2(-1)}+1=\sqrt[3]{1-2}+1=\sqrt[3]{-1}+1=-1+1=0,
-1+\sqrt{2+(-1)}=-1+\sqrt{1}=-1+1=0.
Portanto a forma é 0/0, que é uma indeterminação. O enunciado pede para usar as regras de L’Hospital, então vou aplicá-las (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).

Passo 3

Recordando a regra de L’Hospital (de forma prática): se temos \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} com forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista ou seja \pm\infty.
Aqui:
  • \sqrt[3]{1+2x}=(1+2x)^{1/3} é diferenciável para todo x.
  • \sqrt{2+x}=(2+x)^{1/2} exige 2+x\ge 0, ou seja x\ge-2; como x\to-1 estamos em uma vizinhança onde a raiz quadrada é bem definida e diferenciável.
    Logo as hipóteses estão satisfeitas e posso aplicar L’Hospital.

Passo 4

Vou calcular a derivada do numerador f(x)=\sqrt[3]{1+2x}+1=(1+2x)^{1/3}+1.
Uso a regra da cadeia: se h(x)=(u(x))^{1/3} então h'(x)=\tfrac{1}{3}u(x)^{-2/3}\,u'(x).
Aqui u(x)=1+2x e u'(x)=2. Assim
f'(x)=\frac{1}{3}(1+2x)^{-2/3}\cdot 2=\frac{2}{3}(1+2x)^{-2/3}.

Passo 5

Agora a derivada do denominador g(x)=x+\sqrt{2+x}=x+(2+x)^{1/2}.
A derivada de x é 1. Para a raiz quadrada uso a regra da cadeia: se r(x)=(2+x)^{1/2} então r'(x)=\tfrac{1}{2}(2+x)^{-1/2}\cdot 1=\dfrac{1}{2\sqrt{2+x}}.
Portanto
g'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{2+x}}.

Passo 6

Aplicando L’Hospital, o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas:
\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{x+\sqrt{2+x}} = \lim_{x\to-1}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to-1}\frac{\dfrac{2}{3}(1+2x)^{-2/3}}{1+\dfrac{1}{2\sqrt{2+x}}}.

Passo 7

Agora faço a substituição direta em f'(x) e g'(x). Primeiro o numerador:
\frac{2}{3}(1+2x)^{-2/3}\Big|_{x=-1}=\frac{2}{3}(1+2(-1))^{-2/3}=\frac{2}{3}(1-2)^{-2/3}=\frac{2}{3}(-1)^{-2/3}.
Para interpretar (-1)^{-2/3} note que (-1)^{1/3}=-1 (a raiz cúbica de -1 é -1), então (-1)^{2/3}=((\\ -1)^{1/3})^2=(-1)^2=1, e portanto (-1)^{-2/3}=1. Assim o numerador avaliado é \dfrac{2}{3}.

Passo 8

Agora o denominador avaliado em x=-1:
1+\frac{1}{2\sqrt{2+x}}\Big|_{x=-1}=1+\frac{1}{2\sqrt{2-1}}=1+\frac{1}{2\sqrt{1}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 9

Com numerador \dfrac{2}{3} e denominador \dfrac{3}{2}, o limite é
\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{3}{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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