Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem não homogenea
Informações fornecidas:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, e de segunda ordem.
- O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio
. - A incógnita a determinar é a função
que satisfaz essa igualdade para todo .
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): para equações lineares com coeficientes constantes fazemos dois passos:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero). Essa solução chama-se
. - Encontrar uma solução particular
da equação completa (que reproduz o termo ). A solução geral será .
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados para achar
porque o termo não homogêneo é um polinômio (método simples e apropriado aqui). Explico cada passo e por que as escolhas são feitas.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
, o que dá
Isto é uma equação quadrática em
. Vou resolvê-la usando a fórmula quadrática (ou fatorando se possível). O discriminante é
Como
, as raízes são
Assim obtemos as raízes
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinaríamos por condições iniciais, se existissem).
Passo 4
Escolher a forma de
(método dos coeficientes indeterminados):
- O lado direito é um polinômio de grau
(isto é, ). - Para um polinômio de grau
tentamos uma solução particular polinomial de grau : aqui propomos
com
e
constantes a determinar.
- Antes de aceitar essa forma, verificamos se alguma parte dessa proposta coincide com a solução homogênea. Como
é combinação de exponenciais e , não há termos polinomiais; portanto a proposta é apropriada (não é necessário multiplicar por extra).
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 6
Comparar coeficientes do polinômio (empacotamento por termos em
e termos constantes):
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolver a primeira equação:
Substituir
na segunda equação para achar
:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 7
Juntar a solução homogênea e a particular para obter a solução geral da equação original:
onde
e
são constantes arbitrárias.