Encontrar a solução das equações diferenciais de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-12 y=15 x+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem não homogenea
y'' + 4y' - 12y = 15x + 5.
Informações fornecidas:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, e de segunda ordem.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio \,15x+5.
  • A incógnita a determinar é a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x.

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): para equações lineares com coeficientes constantes fazemos dois passos:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero). Essa solução chama-se y_h.
  2. Encontrar uma solução particular y_p da equação completa (que reproduz o termo 15x+5). A solução geral será y=y_h+y_p.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados para achar y_p porque o termo não homogêneo é um polinômio (método simples e apropriado aqui). Explico cada passo e por que as escolhas são feitas.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''+4y'-12y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}, o que dá
r^2 + 4r - 12 = 0.
Isto é uma equação quadrática em r. Vou resolvê-la usando a fórmula quadrática (ou fatorando se possível). O discriminante é
\Delta = 4^2 - 4\cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64.
Como \Delta=64, as raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}.
Assim obtemos as raízes
r_1 = \frac{-4+8}{2} = 2,\qquad r_2 = \frac{-4-8}{2} = -6.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-6x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinaríamos por condições iniciais, se existissem).

Passo 4

Escolher a forma de y_p (método dos coeficientes indeterminados):
  • O lado direito é um polinômio de grau 1 (isto é, 15x+5).
  • Para um polinômio de grau n tentamos uma solução particular polinomial de grau n: aqui propomos
y_p(x) = Ax + B,
com A e B constantes a determinar.
  • Antes de aceitar essa forma, verificamos se alguma parte dessa proposta coincide com a solução homogênea. Como y_h é combinação de exponenciais e^{2x} e e^{-6x}, não há termos polinomiais; portanto a proposta Ax+B é apropriada (não é necessário multiplicar por x extra).

Passo 5

Calcular derivadas de y_p e substituir na equação para determinar A e B.
Derivadas:
y_p' = A,\qquad y_p'' = 0.
Substituindo em \,y''+4y'-12y=15x+5 obtemos
0 + 4A - 12(Ax + B) = 15x + 5.
Simplificando o lado esquerdo:
-12A x + (4A - 12B) = 15x + 5.

Passo 6

Comparar coeficientes do polinômio (empacotamento por termos em x e termos constantes):
  • Coeficiente de x: -12A = 15.
  • Termo constante: 4A - 12B = 5.
Resolver a primeira equação:
-12A = 15 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4}.
Substituir A na segunda equação para achar B:
4\!\left(-\frac{5}{4}\right) - 12B = 5 \quad\Rightarrow\quad -5 -12B = 5.
Logo
-12B = 10 \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}.
Portanto a solução particular é
y_p(x) = -\frac{5}{4}x - \frac{5}{6}.

Passo 7

Juntar a solução homogênea e a particular para obter a solução geral da equação original:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-6x} -\frac{5}{4}x - \frac{5}{6},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-6x}-\dfrac{5}{4}x-\dfrac{5}{6}

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