Encontrar a solução das equações homogêneas de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-14 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
y'' + 5y' - 14y = 0.
Informações dadas: a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes. O que queremos é a família de soluções gerais y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x.

Passo 2

Ideia do método (bem praticada em provas): tentar uma solução do tipo exponencial \;y(x)=e^{rx}\;, porque derivações de exponenciais trazem um fator r e isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Vou explicar passo a passo por que isso funciona e como fazer no lápis durante a prova.

Passo 3

Calcule as derivadas da tentativa \;y(x)=e^{rx}\;:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Agora substituímos na equação original:
r^2 e^{rx} + 5 r e^{rx} - 14 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividi-la em ambos os lados, sobrando a chamada equação característica:
r^2 + 5r - 14 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática característica. Calculo o discriminante:
\Delta = 5^2 - 4\cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81.
Como \Delta = 81, temos raízes reais e distintas. As raízes são
r = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}.
Portanto
r_1 = \frac{-5 + 9}{2} = 2,\qquad r_2 = \frac{-5 - 9}{2} = -7.

Passo 5

Regra importante (explico como um truque que funciona sempre neste caso): se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, então duas soluções independentes da equação diferencial são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. A solução geral é a combinação linear dessas:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver).

Passo 6

Aplicando os valores encontrados para r_1 e r_2, obtemos a solução geral
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-7x}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes reais qualquer. Uma verificação rápida: calculando y' e y'',
y' = 2C_1 e^{2x} - 7C_2 e^{-7x},\qquad y'' = 4C_1 e^{2x} + 49C_2 e^{-7x},
e substituindo na equação original, os coeficientes das duas exponenciais cancelam: para e^{2x} 4+10-14=0 e para e^{-7x} 49-35-14=0. Logo a solução está correta.

Passo 7

Dica de prova/empresa: memorize este procedimento (tentar e^{rx}, formar a equação característica, resolver para r, montar a solução). Se a equação característica dá raiz dupla r, a solução é C_1 e^{rx}+C_2 x e^{rx}. Se dá raízes complexas a\pm bi, a solução é e^{ax}(C_1\cos(bx)+C_2\sin(bx)). É bom saber esses três casos para a prova.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x} + C_2 e^{-7x}

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