Encontrar a solução das equações homogêneas de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
Informações dadas: a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes. O que queremos é a família de soluções gerais
que satisfaz essa igualdade para todo
.
Passo 2
Ideia do método (bem praticada em provas): tentar uma solução do tipo exponencial
, porque derivações de exponenciais trazem um fator
e isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Vou explicar passo a passo por que isso funciona e como fazer no lápis durante a prova.
Passo 3
Calcule as derivadas da tentativa
:
Agora substituímos na equação original:
Como
nunca é zero, podemos dividi-la em ambos os lados, sobrando a chamada equação característica:
Passo 4
Resolver a equação quadrática característica. Calculo o discriminante:
Como
, temos raízes reais e distintas. As raízes são
Portanto
Passo 5
Regra importante (explico como um truque que funciona sempre neste caso): se a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, então duas soluções independentes da equação diferencial são
e
. A solução geral é a combinação linear dessas:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver).
Passo 6
Aplicando os valores encontrados para
e
, obtemos a solução geral
Aqui
e
são constantes reais qualquer. Uma verificação rápida: calculando
e
,
e substituindo na equação original, os coeficientes das duas exponenciais cancelam: para
dá
e para
dá
. Logo a solução está correta.
Passo 7
Dica de prova/empresa: memorize este procedimento (tentar
, formar a equação característica, resolver para
, montar a solução). Se a equação característica dá raiz dupla
, a solução é
. Se dá raízes complexas
, a solução é
. É bom saber esses três casos para a prova.